Numery pochodne: metody obliczeniowe i przykłady

Być może pojęcie pochodnej jest znany nam wszystkim od liceum. Zazwyczaj studenci mają trudności ze zrozumieniem jest to niewątpliwie bardzo ważną rzeczą. Jest aktywnie wykorzystywane w różnych dziedzinach życia ludzi, a wielu inżynieria oparto właśnie na obliczeniach matematycznych uzyskanych przez pochodnej. Jednak przed przystąpieniem do analizy, co jest pochodną liczby, ponieważ obliczenia i gdzie będą się przydać, zagłębić się trochę do historii.

historia

Pojęcie pochodnej, która jest podstawą analizy matematycznej, była otwarta (nawet lepiej powiedzieć „wymyślił”, ponieważ to jest, jako taki, nie występuje w naturze) Isaakom Nyutonom, który wszyscy znamy z odkryciu prawa grawitacji. To on pierwszy użył tego pojęcia w fizyce dla wiążącego charakteru prędkości i przyspieszenia ciała. I wielu naukowców wciąż chwalą Newtona dla tego wspaniałego wynalazku, ponieważ w rzeczywistości wymyślił podstawy rachunku różniczkowego i całkowego, faktycznej podstawy całego zakresu matematyki zwanych „Analiza matematyczna”. Czy w momencie Nagrody Nobla, Newton prawdopodobnie otrzymałby go kilka razy.

Nie bez innych wielkich umysłów. Ponadto Newton na rozwój pochodnych i integralną obróbce wybitnych geniuszy matematyki Leonhard Euler, Lagrange Louis Gotfrid Leybnits. To dzięki nim mamy teorię rachunku różniczkowego w postaci, w jakiej istnieje on do dziś. Nawiasem mówiąc, to Leibniza odkrył geometryczne znaczenie pochodnej, które było nie więcej niż nachylenie stycznej do wykresu funkcji.

Co jest pochodną liczby? Nieco powtórzyć to, co miało miejsce w szkole.

Co jest pochodną?

Zdefiniowanie tego pojęcia na kilka różnych sposobów. Najprostsze wyjaśnienie: pochodne – to tempo zmian funkcji. Reprezentują wykres każdej funkcji y x. Jeśli nie jest to proste, to ma pewne krzywe na wykresie okresy wzrostu i spadku. Jeśli wziąć dowolny nieskończenie interwał harmonogramu, będzie to odcinek linii prostej. Tak więc, stosunek wielkości odcinka nieskończenie y na wielkości współrzędnej x, a jest pochodną funkcji w danym punkcie. Jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję jako całości, a nie w określonym punkcie, otrzymujemy funkcję pochodnej, czyli pewną zależność od X Y.

Ponadto, niezależnie od fizycznej rozumieniu pochodnych, w zależności od szybkości zmian, nie jest również geometryczny sens. Na to, że teraz do omówienia.

W rozumieniu geometrycznym

pochodne same numery są pewna liczba, że nie jest właściwe zrozumienie nie niesie żadnego znaczenia. Okazuje się, że pochodną wykazuje nie tylko wzrostu lub zmniejszenia funkcji i nachylenie stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. Nie do końca jasna definicja. Zbadajmy go w szczegółach. Załóżmy, że mamy wykres funkcji (aby wziąć krzywej procentowej). Ma nieskończoną liczbę punktów, ale istnieją obszary, gdzie tylko jeden punkt ma maksimum lub minimum. Poprzez takiego punktu, można narysować linię prostą, która byłaby prostopadła do wykresu funkcji w tym punkcie. Linia ta będzie nazywana styczna. Załóżmy, że trzymał ją w górę do przecięcia z osią OX. Otrzymany w ten sposób między styczną i OX osi, a kąt ten określa pochodną. Dokładniej, Tangens tego kąta będzie równym.

Porozmawiajmy trochę o poszczególnych przypadkach i pochodne Zbadajmy numery.

przypadki szczególne

Jak już wspomniano, pochodne liczb – Wartość pochodną w określonym punkcie. Tutaj na przykład, mieć funkcję Y = ^X2. Pochodna x – liczby, ale ogólnie – funkcja równa 2 * x. Jeśli trzeba obliczać pochodnej, na przykład w punkcie x ₀ = 1, otrzymujemy y „(1) = 2 * 1 = 2. To bardzo proste. Interesującym przypadkiem jest pochodną liczby zespolonej. Aby przejść do szczegółowych wyjaśnień co do liczby zespolonej, nie będziemy. Wystarczy powiedzieć, że ten numer, który zawiera tzw jednostka urojona – liczba, której kwadrat jest równy -1. Obliczanie tej pochodnej było możliwe jedynie przy zachowaniu następujących warunków:

1) musi być pierwszego rzędu pochodne cząstkowe rzeczywistych i urojonych części Y i X.

2) warunki Cauchy- Riemanna związane równości częściowego opisany w pierwszym akapicie.

Innym interesującym przypadku, chociaż nie jest tak skomplikowany jak poprzedni, jest pochodną ujemną. W rzeczywistości, wszystkie ujemne wartości mogą być przedstawiony jako dodatni, pomnożony przez -1. Również pochodna a funkcja stała równy stałej pomnożonej przez pochodną funkcji.

To będzie interesujące, aby dowiedzieć się o roli pochodnych w ich codziennym życiu, a to jest teraz i to omówić.

aplikacja

Prawdopodobnie każdy z nas przynajmniej raz w życiu złapać się na myśli, że matematyka jest mało prawdopodobne, aby być przydatne do niego. I taka skomplikowana sprawa jako pochodna prawdopodobnie ma zastosowanie. W rzeczywistości, matematyka – fundamentalna nauka, a wszystkie jej owoce rozwija się głównie fizyki, chemii, astronomii, a nawet gospodarki. Pochodna zapoczątkowało analizy matematycznej, która dała nam możliwość wyciągnięcia wniosków z wykresów funkcji, a my nauczyliśmy się interpretować prawa natury i obrócić je na swoją korzyść z tego powodu.

wniosek

Oczywiście, nie każdy może być przydatny do pochodnej w prawdziwym życiu. Ale matematyka rozwija logikę, które na pewno potrzebne. Nie za nic, bo matematyka nazywana jest królową nauk: to składa się z podstawowego zrozumienia innych dziedzin wiedzy.