Liniowe i jednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań

Myślę, że powinniśmy zacząć od historii chwalebnej jako narzędzia matematycznego równań różniczkowych. Podobnie jak wszystkie różniczkowego i całkowego, równania te zostały wynalezione przez Newtona pod koniec 17 wieku. Uważał, że to jego odkrycie tak ważne, że nawet zaszyfrowane wiadomości, które dziś można przetłumaczyć następująco: „Wszystkie prawa natury opisane przez równania różniczkowe” To może wydawać się przesadą, ale to prawda. Wszelkie prawa fizyki, chemii, biologii, można opisać za pomocą tych równań.

Ogromny wkład w rozwój i tworzenie teorii równań różniczkowych mieć matematyka Eulera i Lagrange'a. Już w 18 wieku odkryli i rozwijane, co jest obecnie studiuje na wyższych kursach uniwersyteckich.

Kolejny krok milowy w badaniu równań różniczkowych zaczął dzięki Anri Puankare. On stworzył „jakościową teorię równań różniczkowych”, które, w połączeniu z teorii funkcji zmiennych zespolonych znacząco przyczynił się do powstania topologii – nauki o przestrzeni i jej właściwości.

Jakie są równania różniczkowe?

Wiele osób boi się zwrotem „równanie różniczkowe”. Jednak w tym artykule określono szczegółowo istotę tego bardzo przydatnym narzędziem matematycznym, które w rzeczywistości nie jest tak skomplikowane jak się wydaje od tytułu. Aby zacząć mówić o równanie różniczkowe pierwszego rzędu, należy najpierw zapoznać się z podstawowymi pojęciami, które są nieodłącznie związane z tą definicją. I zaczniemy z mechanizmem różnicowym.

różnicowy

Wielu ludzi zna ten termin od czasów liceum. Jednak nadal mieszkają na nim w szczegółach. Wyobraźmy sobie wykres funkcji. Możemy zwiększyć ją do tego stopnia, że każdy z jego segmentu staje się linię prostą. zajmie to dwa punkty, które są nieskończenie blisko siebie. Różnica pomiędzy ich współrzędne (X lub Y) jest znikoma. I to się nazywa różnica i znaki wyznaczają dy (różnicowy z Y) i dx (różniczka x). Ważne jest, aby zrozumieć, że różnica nie jest wartością ostateczną, i to jest sens i główną funkcją.

A teraz trzeba wziąć pod uwagę następujące elementy, które musimy wyjaśnić pojęcie równania różnicowego. To – pochodnej.

pochodna

Każdy z nas musi słyszałem w szkole i tego pojęcia. Mówią, że pochodna – to stopa wzrostu lub spadku funkcji. Jednak definicja ta staje się coraz bardziej skomplikowane. Spróbujmy wyjaśnić warunki pochodnych tych różnic. Wróćmy do nieskończenie funkcji przedziale z dwoma punktami, które znajdują się w minimalnej odległości od siebie. Ale nawet poza tą funkcją odległość jest czas, aby zmienić jakąś wartość. A także określać, że zmiany i pochodzą z pochodną, które w przeciwnym razie być podana jako stosunek różnicowych: f (x) „= df / dx.

Teraz konieczne jest, aby wziąć pod uwagę podstawowe właściwości pochodnej. Istnieją tylko trzy:

1. Pochodna sumę lub różnicę można przedstawić jako sumy lub różnicy pomiędzy pochodnymi: (a + b) '= a' + b 'oraz (ab)', a'-B”.
2. Druga nieruchomość jest połączony z mnożenia. Prace pochodne – to suma prac jednej funkcji innej pochodnej: (a * b) '= a' + b * a * b”.
3. Pochodną różnicy można zapisać w postaci równania: (a / b) ' (A' * ba * b „) / b ^2.

Wszystkie te cechy się przydać do znalezienia rozwiązania równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Ponadto, nie są pochodnymi cząstkowymi. Załóżmy, że mamy funkcję oo, która jest uzależniona od zmiennych x i y. Aby obliczyć częściową pochodną tej funkcji, na przykład, w kierunku X, trzeba mieć zmienną Y w stałym i łatwe do odróżnienia.

integralny

Innym ważnym pojęciem – całki. W rzeczywistości jest to przeciwieństwo pochodnej. Całki kilka typów, ale najprostsze rozwiązania równań różniczkowych, musimy najbardziej trywialne nieokreślone całki.

Więc, co jest integralną? Powiedzmy, że mamy jakiś związek F x. Pobranym z nim integralną i uzyskania funkcji f (x) (to jest często określany jako pierwotną), który jest pochodną pierwotną funkcję. W związku z F (x) „= f (x). Oznacza to również, że całka pochodna jest równa pierwotnej funkcji.

W rozwiązywaniu równań różniczkowych jest bardzo ważne, aby zrozumieć znaczenie i funkcja integralną, ponieważ bardzo często muszą brać je na znalezienie rozwiązania.

Równania są różne w zależności od ich charakteru. W następnej części przyjrzymy typów równań różniczkowych pierwszego rzędu, a następnie dowiedzieć się, jak je rozwiązać.

Klasy równań różniczkowych

„Diffury” podzielony przez kolejność pochodnych zaangażowane. Tak więc nie jest pierwszym, drugim, trzecim lub więcej kolejności. Mogą być również podzielone na kilka klas: zwyczajnych i cząstkowych.

W tym artykule omówimy równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Przykłady i rozwiązania omówimy w kolejnych rozdziałach. Uważamy tylko TAC, ponieważ jest to najbardziej popularne typy równań. Zwyczajne podzielony podgatunków: zmiennymi oddzielnych, jednorodnych i niejednorodnych. Następny dowiesz się, jak różnią się one od siebie, i dowiedzieć się, jak je rozwiązać.

Ponadto, równania te można łączyć, tak że po otrzymujemy układ równań różniczkowych pierwszego rzędu. Takie systemy, również przyjrzeć i dowiedzieć się, jak rozwiązać.

Dlatego rozważamy tylko pierwszej kolejności? Dlatego konieczne jest, aby rozpocząć z prostym i opisać wszystkie związane z równań różniczkowych, w jednym artykule jest to niemożliwe.

Równania ze zmiennymi oddzielnych

Jest to chyba najbardziej proste równania różniczkowe pierwsze zamówienie. Są to przykłady, które mogą być zapisane jako: y „= f (x) * f (T). W celu rozwiązania tego równania nam potrzebne wzór reprezentacji pochodnej jako stosunkowi różnic: Y „= dy / dx. Z tego otrzymujemy równanie: dy / dx = f (x) * f (T). Teraz możemy włączyć do metody rozwiązywania standardowych przykładów: rozdzielenie zmiennych w części, czyli do przodu cały zmiennej Y w części, w której istnieje dy, a także sprawiają, że zmienna X … Otrzymujemy równanie postaci: dy / F (r) = f (x) dx, co uzyskuje się poprzez całkowanie dwóch części. Nie zapomnij o stałej które chcesz umieścić po integracji.

Roztwór każdego „diffura” – jest funkcją x, o Y (w naszym przypadku), a jeśli jest to warunek numeryczne, odpowiedź jest liczbą. Zbadajmy konkretny przykład cały przebieg decyzji:

Y „= 2y * sin (x)

Przenieść zmiennych w różnych kierunkach:

dy / R = 2 * sin (x) dx

Teraz weź całek. Wszystkie z nich można znaleźć w specjalnej tabeli całek. I otrzymujemy:

ln (r) = -2 * cos (x) + C

Jeśli to konieczne, można wyrazić w „T” w funkcji „X”. Teraz możemy powiedzieć, że nasze równanie różniczkowe zostanie rozwiązany, jeśli nie podano warunek. Mogą być określone warunki, na przykład, y (n / 2) = E. Wtedy po prostu zastąpić wartości tych zmiennych w decyzji i znaleźć wartość stałą. W naszym przykładzie jest to 1.

Jednorodne pierwszego rzędu równania różniczkowe

Teraz przejdźmy do bardziej złożonych elementów. Jednorodne Pierwsze równanie różniczkowe kolejność może być zapisana w ogólnej postaci jako: y „= z (x, y). Należy zauważyć, że prawa funkcją dwóch zmiennych, jest jednolita i nie może być podzielona na dwie części w zależności od: Z X i Z y. Należy sprawdzić, czy równanie jest jednorodna, czy nie, jest bardzo prosta: aby podstawienie X = k * X i Y = k * y. Teraz tniemy wszystko K. Jeśli litery te są opuszczane, to równanie jednorodne i można bezpiecznie kontynuować do rozwiązania. Patrząc w przyszłość, mówimy: zasada rozwiązaniu tych przykładów jest również bardzo proste.

Trzeba dokonać podstawień: Y = t (x) * x, gdzie T – funkcja, która zależy również od x. Następnie można wyrazić pochodną: Y '= t' (x) * x + T. Podstawiając to pod naszej pierwotnej równanie i uproszczeniu, mamy przykład rozdzielenie zmiennych T, x. Rozwiązać i uzyskać zależność T (x). Gdy mamy, wystarczy zastąpić nasze wcześniejsze podstawienie y = t (x) * x. Następnie otrzymujemy zależność y od x.

Aby uczynić go bardziej zrozumiałym, powinniśmy zrozumieć przykład: x * y „= yx * e y / x.

Podczas sprawdzania wymiana wszystkich spada. Więc równanie jest bardzo jednorodna. Teraz należy jeszcze podstawienie omówiliśmy: Y = t (x) * x r 't =' (x) * x + t (x). Po uproszczenia następujące równanie: T „(x) * x = -e T. Zdecydujemy się pobrać próbkę o zmiennych rozdzielonych i ^{otrzymujemy: e -t = ln (C *} X). Musimy po prostu zastąpić przez t y / x (bo jeśli y = T * X, to t = y / x), i otrzymujemy ^{odpowiedź: e -y / x = ln (} x * C).

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Nadszedł czas, aby rozważyć kolejny szeroki temat. Przyjrzymy heterogenicznych pierwszej kolejności równań różniczkowych. W jaki sposób różni się od dwóch poprzednich? Spójrzmy prawdzie w oczy. Liniowe równanie różniczkowe pierwszej kolejności w ogólnej postaci równanie można zapisać w następujący sposób: y „+ g (x) * y = z (x). Należy wyjaśnić, że z (X), g (x) może być wartości stałych.

Oto przykład: y „- = y * x x ^2.

Istnieją dwa sposoby rozwiązania i zamówimy Zbadajmy obu z nich. Pierwszy – metoda wariancji arbitralnych stałych.

W celu rozwiązania tego równania w taki sposób, że jest konieczne, aby zrównać się z pierwszej strony prawej do zera, a rozwiązanie powstałego równanie, które po przekazaniu części postać:

y „= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 i C;

Y = e ^{x2 / 2} * ^c Y = _C1 * e ^{x2 / 2.}

Teraz konieczne jest zastąpienie stałej C ₁ na funkcję v (x), co znajdziemy.

r = v * e ^{x2 / 2.}

Narysuj pochodną Zamiennik:

^{Y '= V' * e x2} / ^2-x * v * e ^{x2 / 2.}

I zastąpienie tych wyrażeń do pierwotnego równania:

v „* e ^{x2 / 2} – x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = X ^2.

Widać, że w lewym boku dwóch kategoriach są zmniejszone. Jeśli niektóre z przykładów, że tak się nie stało, to trzeba zrobić coś złego. W dalszym ciągu:

v „* e ^{x2 / 2} = X ^2.

Teraz możemy rozwiązać zwykłe równanie, w którym chcesz, aby oddzielić zmienne:

dv / dx = X ^{2 /} e ^x2 / ^2;

DV = X ² E ^{– X2 / 2} DX.

Aby usunąć całki, musimy zastosować integrację częściami tutaj. Jednak to nie jest tematem tego artykułu. Jeśli jesteś zainteresowany, można dowiedzieć się na własną rękę do przeprowadzenia takich działań. To nie jest trudne, a z wystarczającą starannością nie jest czasochłonne.

Odnosząc się do drugiego sposobu rozwiązania tych niejednorodnych równań: Metoda Bernoulliego. Jakie podejście jest szybciej i łatwiej – to zależy od Ciebie.

Tak więc, przy rozwiązywaniu tej metody, musimy dokonać zmiany: y = k * n. Tu, k oraz n – niektóre funkcje w zależności od x. Następnie pochodną będzie wyglądać następująco: Y '= K' * n + k * n”. Zastępcze dwa podstawniki w równaniu:

k '* k * n + n ' + x * k * n x = ^2.

Grupa up:

k '* n + k * ( n + x * n) = X ^2.

Teraz konieczne jest, aby zrównać do zera, co jest w nawiasach. Teraz, jeśli połączyć dwa wynikających równań, otrzymujemy system równań różniczkowych pierwszego rzędu zostać rozwiązany:

n „+ x * n = 0;

k „* n x = ^2.

Pierwsza równość zdecydować, jak zwykłe równanie. Aby to zrobić, trzeba oddzielić zmienne:

d / dx = X * v;

d / n = xdx.

Bierzemy integralną i otrzymujemy: ln (n) = x ^2/2. Następnie, jeśli to wyrazić n:

n = e ^{x 2/2.}

Teraz zastąpić powstałego równania do drugiego równania:

k „* e ^{x2 / 2} = X ^2.

I przekształcając otrzymujemy równanie samo jak w pierwszej metodzie:

DK = X ^{2 /} e ^x2 / ^2.

My również nie będziemy omawiać dalsze działania. Uważa się, że w pierwszej pierwszego rzędu równań różniczkowych rozwiązanie powoduje znaczne trudności. Jednak głębsze zanurzenie w temacie zaczyna się coraz lepiej.

Gdzie są równania różniczkowe?

Równania różniczkowe bardzo aktywnych stosowanych w fizyce, jak prawie wszystkie podstawowe przepisy są napisane w postaci różniczkowej i te wzory, które widzimy – rozwiązanie tych równań. W chemii, są one wykorzystywane do tego samego powodu: podstawowe prawa są uzyskiwane przez nich. W biologii, równania różniczkowe są wykorzystywane do modelowania zachowania systemów, takich jak drapieżniki – drapieżnych. Mogą być również wykorzystywane do tworzenia modeli reprodukcji, na przykład, kolonie mikroorganizmów.

Równania różniczkowe jako pomoc w życiu?

Odpowiedź na to pytanie jest prosta: nic. Jeżeli nie jesteś naukowcem lub inżynierem, jest mało prawdopodobne, że będą one użyteczne. Jednak nie zaszkodzi wiedzieć, co równanie różniczkowe i to jest rozwiązane dla ogólnego rozwoju. A potem kwestia syna lub córki, „co równania różniczkowego?” nie można umieścić w ślepy zaułek. Cóż, jeśli jesteś naukowcem lub inżynierem, to wiesz, znaczenie tego tematu w jakiejkolwiek nauki. Ale najważniejsze, że teraz na pytanie „jak rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu?” zawsze będziesz w stanie dać odpowiedź. Zgadzam się, to zawsze miło, gdy zdajesz sobie sprawę, że to, co ludzie są jeszcze boi się tego dowiedzieć.

Główne problemy w badaniu

Głównym problemem w zrozumieniu tego tematu jest to zły nawyk integracyjnych i różnicowania funkcji. Jeśli są niewygodne PONOSI pochodne i całki, to prawdopodobnie wart więcej się uczyć, uczyć się różnych metod integracji i różnicowania, a dopiero potem przystąpić do badania materiału, który został opisany w artykule.

Niektórzy ludzie są zaskoczeni, że DX może być przeniesione, jak poprzednio (w szkole) twierdził, że frakcja dy / dx jest niepodzielne. Następnie trzeba czytać literaturę na pochodnej i zrozumieć, że to jest postawa nieskończenie małych ilościach, które mogą być manipulowane w rozwiązywaniu równań.

Wiele osób nie zdaje sobie sprawy, że od razu rozwiązanie równań różniczkowych pierwszego rzędu – jest często funkcją lub neberuschiysya integralną, a to złudzenie daje im wiele kłopotów.

Co jeszcze mogą być badane w celu lepszego zrozumienia?

Najlepiej jest rozpocząć dalsze zanurzenie się w świat rachunku różniczkowego specjalistycznych podręcznikach, na przykład w analizie matematycznej dla studentów specjalności non-matematycznych. Następnie można przejść do bardziej specjalistycznej literaturze.

Mówi się, że oprócz mechanizmu różnicowego, nadal istnieją równania całkowe, więc zawsze będziesz miał coś do dążyć i co studiować.

wniosek

Mamy nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu będziesz mieć pomysł co Równania różniczkowe i jak je rozwiązać poprawnie.

W każdym razie, matematyka w żaden sposób nam przydać w życiu. Rozwija logikę i uwagi, bez którego każdy człowiek, jak bez rąk.