Szereg Fouriera: historia i wpływ mechanizmu matematycznego dla rozwoju nauki

Szereg Fouriera – w tym widoku dowolnie wybranych funkcji okresu rzędu. Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie to jest zwany element rozprężny w zasadzie prostopadłym. Rozszerzenie funkcji w szeregu Fouriera jest bardzo potężne narzędzie do rozwiązywania problemów ze względu na różne właściwości transformacji integracji, różnicowaniu, jak również zmiany w ekspresji argumentów i zwoju.

Osoba, która nie jest zaznajomiony z matematyki wyższej, a także z dzieł francuskiego naukowca Fouriera, najprawdopodobniej nie będzie zrozumieć, co „szeregi” i co robią. Jednak ta przemiana jest dość mocno wpisana w nasze życie. Jest on używany nie tylko matematyki, ale również fizyków, chemików, lekarzy, astronomów Sejsmolodzy oceanografowie i innych. Pozwól nam również przyjrzeć się bliżej z twórczością wielkiego francuskiego naukowca, którzy dokonali odkrycia, wyprzedzając swego czasu.

Mężczyzna i transformaty Fouriera

Szereg Fouriera jest jedną z metod (wraz z analizą i innych) transformacji Fouriera. Proces ten odbywa się za każdym razem osoba słyszy żadnego dźwięku. Nasze ucho automatycznie przetwarza falę dźwiękową. Oscylacyjny ruch cząstek podstawowych w elastycznym podłożu są rozszerzone w serii (częstotliwości) kolejnych wartości objętości dla dźwięków o różnych wysokościach. Następnie mózg przetwarza te dane do znajome dźwięki dla nas. Wszystko to jest dodatkiem do naszego pragnienia lub samej świadomości, ale w celu zrozumienia procesów, które mają kilka lat na studia wyższe matematyki.

Czytaj więcej o transformaty Fouriera

Transformata Fouriera można przeprowadzić analizy, cyfry i innych metod. Szereg Fouriera jest odnośnikiem sposób rozkładu żadnych oscylacyjne procesów – od pływów morskich i fal światła słonecznego cykli (i innych obiektów kosmicznych) działania. Przy użyciu tych technik matematycznych, można demontować funkcji reprezentujący wszystkie procesy oscylacyjne liczby składowych sinusoidalnych, które wchodzą od minimalnej do maksymalnej i odwrotnie. Transformata Fouriera jest funkcją opisujące fazy i amplitudy sinusoid odpowiadającą określonej częstotliwości. Proces ten może być stosowany w celu rozwiązania bardzo skomplikowane równania, które opisują dynamiczne procesy zachodzące pod wpływem ciepła, światła lub energii elektrycznej. Ponadto, szereg Fouriera rozróżnia elementy DC w złożonych przebiegów, dzięki czemu możliwe jest poprawnie zinterpretować obserwacje eksperymentalne w medycynie, chemii i astronomii.

informacje historyczne

Założycielem tej teorii jest francuski matematyk Zhan Batist Zhozef Fure. Nazywa później i ta przemiana została wywołana. Początkowo Naukowcy wykorzystali techniki do badania i wyjaśnienie mechanizmów przewodności cieplnej – rozmnażanie cieplnej w stałych. Fouriera sugeruje, że początkowa nieregularny rozkład fali termicznej może być rozłożona na proste sinusoidy, z których każda będzie miała co najmniej jego temperatura i maksimum, jak również jego fazę. W ten sposób każdy taki element do pomiaru od wartości minimalnej do maksymalnej i odwrotnie. Funkcją matematyczną, która opisuje górne i dolne piki na krzywej, a także faza każdej harmonicznej, zwany transformaty Fouriera rozkładu temperatury ekspresji. Autor teorii obniżonej ogólnej funkcji rozkładu, który jest trudny do opisu matematycznego, w bardzo łatwy w obsłudze numer okresowych funkcji sinus i cosinus, w wysokości co daje wstępną dystrybucję.

Zasada konwersji i poglądy współczesnych

Współcześni naukowca – czołowy matematyków na początku XIX wieku – nie przyjął tej teorii. Sprzeciw głównym było zatwierdzenie Fouriera, że nieciągła funkcji opisującej linii prostej lub krzywej została rozerwana może być reprezentowany w postaci sumy wyrażenia sinusoidalne, które są w sposób ciągły. Jako przykład rozważmy „Step” Heaviside: jego wartość jest równa zero z lewej szczelinie i jeden po prawej stronie. Funkcja ta opisuje zależność prądu elektrycznego o zmiennej czasowej dla łańcucha zamknięcia. Teoria współczesnej w tym czasie, nie zetknął się taką sytuację, w której nieciągła wyrażenie będzie opisany przez połączenie ciągłych, wspólne funkcje, takie jak wykładniczej sinusoidalnej, liniowy lub kwadratowy.

Co przeszkadza francuskich matematyków w teorii Fouriera?

Wszakże jeśli matematyk słusznie argumentować, następnie zsumowanie nieskończoną trygonometryczne szereg Fouriera, możliwe jest uzyskanie dokładnej reprezentacji kroku wypowiedzi, nawet jeśli ma ona zestaw podobnych kroków. Na początku XIX wieku, to stwierdzenie wydawało się absurdalne. Ale mimo wszystkich wątpliwości, wielu matematyków Rozszerzyliśmy zakres badania tego zjawiska, przesuwając go poza badania przewodzenia termicznego. Jednak większość naukowców nadal cierpi na pytanie: „Czy suma fali sinusoidalnej serii zbieżny do dokładnej wartości nieciągłą funkcją”

Zbieżność szeregu Fouriera: przykład

Kwestia konwergencji wzrasta za każdym razem trzeba sumowanie nieskończonego szeregu liczb. rozważyć klasycznym przykładem dla zrozumienia tego zjawiska. Można kiedykolwiek dotrzeć do ściany, jeśli każdy krok jest połową poprzedniego? Załóżmy, że dwa metry od bramki, pierwszy krok do około pół drodze, następny – znak trzech czwartych, a po piątym, będzie pokonać prawie 97 procent sposób. Jednak bez względu na to, ile kroków zrobiłeś ani, zamierzony cel można dotrzeć w ścisłym sensie matematycznym. Korzystanie z obliczeń numerycznych, możemy udowodnić, że w końcu może być bliżej do dowolnie małej danej odległości. Jest to odpowiednik dowodu wykazującego, że łączna wartość połowę, jedną czwartą, i tak dalej. E. będą dążyły do jedności.

Kwestia konwergencji: drugie przyjście lub instrumentem Lord Kelvin

Wielokrotnie pojawiło się pytanie, pod koniec XIX wieku, kiedy to szereg Fouriera próbowali wykorzystywać do przewidywania intensywność przypływy i odpływy. W tym czasie Lord Kelvin wynaleziono urządzenie to komputer analogowy, który pozwolił żeglarze granatowy i monitor morskich kupiec jest zjawiskiem naturalnym. Ten mechanizm zdefiniowany zestaw faz i amplitud wysokości stołu pływów i odpowiednich momentach czasowych dokładnie mierzone w porcie w ciągu roku. Każdy parametr jest sinusoidalny wysokości odpływu wyrażenie komponent i był jednym z regularnych elementów. Wyniki pomiarów są dostarczane do urządzenia komputerowego Pan Kelvina syntezy krzywą przewidywany poziom wody w zależności od roku następnego. Bardzo szybko, krzywe te zostały sporządzone dla wszystkich portów świata.

A jeśli proces zostanie uszkodzony funkcja nieciągła?

W tym czasie, wydawało się oczywiste, że urządzenie przewidywania falę, oraz wiele elementów rachunku można obliczyć wiele faz i amplitud i aby zapewnić dokładniejsze przewidywanie. Niemniej jednak, okazało się, że ta próbka, nie obserwuje się w przypadku, gdy ekspresja oddechowej, które będą syntetyzowane zawartych gwałtowny skok, czyli są nieciągłe. W przypadku, gdy urządzenie do wprowadzania danych z tabeli punktów czasowych, oblicza kilka współczynników Fouriera. Odzyskania pierwotnej funkcji ze względu na sinusoidalny składnik (zgodnie ze stwierdzonymi współczynników). Rozbieżność pomiędzy oryginałem i odtworzonej ekspresji może być mierzony w dowolnym punkcie. Kiedy powtórzyć obliczenia i porównania widać, że wartość największego błędu nie jest zmniejszona. Jednakże są one zlokalizowane w regionie odpowiadającym momencie pęknięcia, a każdy inny punkt tendencję do zera. W 1899 roku wynik ten został potwierdzony teoretycznie Joshua Willard Gibbs z Yale University.

Zbieżność szeregu Fouriera i rozwój matematyki jako całość

analiza Fouriera nie stosuje się do wyrażeń zawierających nieskończoną liczbę impulsów w określonym przedziale czasu. Na ogół szeregu Fouriera, jeżeli pierwotna funkcja jest przedstawiony w wyniku rzeczywistych pomiarów fizycznych zawsze zbieżne. Pytania zbieżności tego procesu dla poszczególnych klas funkcji doprowadziły do nowych gałęzi matematyki, takich jak teorii ogólnych funkcji. Jest to związane z nazwami, takimi jak Schwartz, J .., J. Mikusiński gacz. Zgodnie z tą teorią, wyraźny i dokładne teoretyczne podstawy takiej ekspresji został ustalony jako funkcja delta Diraca (opisuje rejon jednego obszaru i zatęża w nieskończenie sąsiedztwie punkcie), a „etap” Heaviside. Dzięki tej pracy szereg Fouriera stało się zastosowanie do rozwiązywania równań i problemów, które dotyczą intuicyjnych pojęć: Szarża punkt, punkt masowych, dipoli magnetycznych, a obciążenie skupione na belce.

metoda Fouriera

Szereg Fouriera, zgodnie z zasadami ingerencji zacząć rozkładu złożonych form do prostsze. Na przykład, zmiany w przepływie ciepła, ze względu na jego przejście przez różne bariery ciepła materiału o nieregularnym kształcie izolacyjnego lub zmiany powierzchni masy – trzęsienie ziemi, zmianę orbity ciał niebieskich – wpływ planety. Zazwyczaj te równań opisujących proste rozwiązanie klasycznej elementarnych systemu dla każdej długości fali. Fourier wykazał, że proste rozwiązania mogą być podsumowane jak dla bardziej złożonych zadań. W języku matematyki, szereg Fouriera – metodologia składania sumy ekspresji harmonicznego – cosinus i sinusoidalnych. Dlatego analiza ta znana jest również pod nazwą „analiza harmoniczna”.

Szereg Fouriera – idealny sposób na „ery komputerów”

Przed stworzeniem technologii komputerowej metodą Fouriera jest najlepsza broń w arsenale naukowców pracujących z falowej natury naszego świata. Szereg Fouriera w formie złożonej pozwala rozwiązać nie tylko prostych problemów, które są podatne na bezpośrednie stosowanie przepisów prawa mechaniki Newtona, ale także podstawowych równań. Większość odkryć Newtona nauki XIX wieku stało się możliwe tylko dzięki metodzie Fouriera.

Szereg Fouriera dzisiaj

Wraz z rozwojem transformaty Fouriera komputery wzrosły do nowego poziomu. Technika ta jest mocno zakorzenione w prawie wszystkich dziedzinach nauki i technologii. Jako przykład cyfrowego audio i wideo. Jego wdrożenie było możliwe tylko dzięki teorii opracowanej przez francuskiego matematyka z początku XIX wieku. Zatem szereg Fouriera w formie złożonej pozwoliła dokonać przełomu w badaniach kosmosu. Ponadto wpłynął na naukę fizyki materiałów półprzewodnikowych i osocza, akustyki mikrofalowe, oceanografii, radar, sejsmologii.

Seria trygonometryczne Fouriera

W matematyce, szereg Fouriera jest sposobem przedstawiania dowolnych złożonych funkcji jako sumy prostsze. W ogólnych przypadkach liczba wyrażeń może być nieskończona. Im większa jest liczba liczone w obliczeniach dokładniejsze końcowy wynik uzyskuje. Najczęstszym zastosowaniem prostego trygonometryczne cosinus lub funkcji sinus. W tym przypadku, szereg Fouriera nazywa trygonometrycznych, a decyzja o takich wyrażeń – rozkład harmonicznych. Metoda ta odgrywa ważną rolę w matematyce. Przede wszystkim trygonometryczne serii zapewnia środki do obrazu, jak również badanie funkcji, to jest główną jednostką teorii. Ponadto, pozwala nam rozwiązać szereg problemów w fizyce matematycznej. Wreszcie, teoria ta przyczyniła się do rozwoju analizy matematycznej, prowadząc do szeregu bardzo ważnych dziedzin nauki matematycznej (teorii całek, teoria funkcji okresowych). Ponadto, punktem wyjścia dla rozwoju następujących teorii: zestawy, funkcje zmiennej rzeczywistej, analizy funkcjonalnej, a także podwaliny dla analizy harmonicznej.