Teoria prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia, sporadyczne zdarzenia (teoria prawdopodobieństwa). Niezależne i niekompatybilne rozwój teorii prawdopodobieństwa

Jest mało prawdopodobne, że wiele osób uważa, że jest to możliwe zliczanie zdarzeń, które do pewnego stopnia przypadkowe. Aby umieścić go w prostych słowach, jest to realne, aby wiedzieć, po której stronie kostki w kostce spadnie następnym razem. Było to pytanie zadać dwóch wielkich naukowców, podwaliny dla tej nauki, teoria prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo wypadku, w którym studiował na tyle intensywnie.

generacja

Jeśli próby zdefiniowania takiej koncepcji jako teorii prawdopodobieństwa, otrzymamy następujący: jest to jedna z gałęzi matematyki, że badania stałości zdarzeń losowych. Oczywiście, pojęcie to naprawdę nie ujawnia istotę, więc trzeba traktować je w sposób bardziej szczegółowy.

Chciałbym zacząć od założycieli teorii. Jak wspomniano powyżej, były dwa, że Per Ferma i Blez Paskal. Byli pierwszą próbę z użyciem formuł i obliczeń matematycznych do obliczenia wyniku zdarzenia. Generalnie, podstawami tej nauki jest jeszcze w średniowieczu. Chociaż różne myśliciele i naukowcy próbowali analizować gry takie jak ruletka, kości i tak dalej, a tym samym ustalenie wzoru, a procentowy ubytek liczby. Fundacja została również układać w XVII wieku było wspomniane uczeni.

Początkowo ich praca nie może być przypisana do wielkich osiągnięć w tej dziedzinie, po tym wszystkim, co zrobili, byli po prostu empiryczne fakty i eksperymenty były wyraźnie bez użycia formuł. Z biegiem czasu okazało się osiągnąć wspaniałe rezultaty, które pojawiły się w wyniku obserwacji obsady kości. Jest to przyrząd pomógł przynieść pierwsze odrębną formułę.

zwolennicy

Nie wspominając o takim człowiekiem jak Christiaan Huygens, w trakcie studiów przedmiot, który nosi nazwę „teorii prawdopodobieństwa” (prawdopodobieństwo zdarzenia podkreśla to w tym nauki). Osoba ta jest bardzo interesująca. On, jak również naukowcy próbowali przedstawione powyżej są w postaci wzorów matematycznych wyprowadzić wzór zdarzeń losowych. Warto zauważyć, że nie podzielić się nim z Pascal i Fermat, że wszystko jest jego praca nie pokrywają się z tymi umysłami. Huygens pochodzi podstawowe pojęcia z zakresu teorii prawdopodobieństwa.

Ciekawostką jest fakt, że jego praca przyszedł długo przed otrzymaniem wyników prac pionierów, a dokładnie dwadzieścia lat wcześniej. Są to tylko niektóre z pojęć wymienionych byli:

• jak pojęcie wartości prawdopodobieństwa losowych;
• oczekiwanie dyskretnej przypadku;
• twierdzenia dodawania i mnożenia prawdopodobieństw.

Ponadto, nie można zapomnieć Yakoba Bernulli, który również przyczynił się do badań nad tym problemem. Poprzez własną rękę, z którymi nie są niezależne testy, był w stanie dostarczyć dowód prawa wielkich liczb. Z kolei naukowcy Poissona i Laplace'a, który pracował na początku XIX wieku, były w stanie udowodnić, oryginalne twierdzenie. Od tego momentu do analizy błędów w uwagach zaczęliśmy korzystać z teorii prawdopodobieństwa. Partia wokół tej nauki nie mógł i rosyjscy naukowcy, raczej Markowa, Czebyszewa i Dyapunov. Są one oparte na pracy wykonanej wielkich geniuszy, zabezpieczony przedmiot jako gałąź matematyki. Pracowaliśmy te dane pod koniec XIX wieku, a dzięki ich wkład, okazały zjawisk, takich jak:

• prawo wielkich liczb;
• Teoria łańcuchów Markowa;
• Centralna twierdzenie graniczne.

Tak, historia narodzin i nauki z głównych osobistości, które przyczyniły się do tego, wszystko jest bardziej lub mniej wyraźny. Teraz nadszedł czas, aby ucieleśnić wszystkie fakty.

podstawowe pojęcia

Przed dotknięciem prawa i twierdzenia powinny nauczyć się podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa. Zdarzenie to zajmuje dominującą rolę. Ten temat jest dość obszerny, ale nie będzie w stanie zrozumieć całą resztę bez niego.

Impreza w teorii prawdopodobieństwa – to Każdy zestaw wyników eksperymentu. Pojęcia tego zjawiska nie jest wystarczające. Zatem Łotman naukowiec pracujący w tym obszarze, wyraził, że w tym przypadku mówimy o tym, co „się stało, choć nie może się wydarzyć.”

Zdarzeń losowych (teoria prawdopodobieństwa zwraca szczególną uwagę na nich) – jest pojęciem, które obejmuje absolutnie żadnego zjawiska mającego możliwość wystąpić. Lub, wręcz przeciwnie, scenariusz ten nie może się zdarzyć w wykonywaniu różnych warunkach. Warto też wiedzieć, że zajmują całą objętość zjawisk zachodzących właśnie zdarzenia losowe. Rachunek prawdopodobieństwa wskazuje, że wszystkie warunki mogą być powtarzane nieustannie. Jest ich zachowanie zostało nazwane „doświadczenie” lub „test”.

Znaczące wydarzenie – jest to zjawisko, które jest sto procent w tym teście zdarzyć. Zgodnie z tym, co niemożliwe wydarzenie – to jest coś, co się nie dzieje.

Łączenie pary (działanie konwencjonalnie przypadku, gdy A i B) w przypadku to zjawisko zachodzi równocześnie. Są one określane jako AB.

Ilość pary zdarzeń A i B – C jest, innymi słowy, gdy co najmniej jeden z nich (A lub B) można uzyskać C Wzór Opisane zjawisko jest zapisywany jako C = A + B.

Niezgodne rozwój teorii prawdopodobieństwa wynika, że te dwa przypadki są wzajemnie się wykluczają. Jednocześnie są one w żadnym wypadku nie może wystąpić. Wspólne wydarzenia w teorii prawdopodobieństwa – to jest ich przeciwieństwem. To oznacza, że jeśli A stało, że nie wyklucza C.

Opposing wydarzenie (teoria prawdopodobieństwa uważa je bardzo szczegółowo), są łatwe do zrozumienia. Jest najlepiej radzić sobie z nimi w porównaniu. Są prawie takie same jak niekompatybilne zmiany w teorii prawdopodobieństwa. Jednak ich różnicą jest to, że powinien pojawić się jeden z wielu zjawisk w każdym przypadku.

Równie prawdopodobne wydarzenia – te działania, możliwość powtarzania jest równa. Żeby było jasne, można sobie wyobrazić, rzucając monetą: Utrata jednego z jego boków jest równie prawdopodobna utrata drugiej.

łatwiej jest rozważyć przykład faworyzowania zdarzenie. Załóżmy, że jest to epizod w odcinku A. Pierwszy – rolka matrycy wraz z pojawieniem się liczbą nieparzystą, a drugi – z wyglądem numer pięć na kostce. Potem okazuje się, że A jest faworyzowany V.

Niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa są przewidywane tylko na dwa lub więcej razy i obejmować niezależne od jakiegokolwiek działania ze strony drugiej. Na przykład, A – przy strat podrzucając ogony monety i B – gniazda dostavanie z pokładu. Mają niezależnych wydarzeń w teorii prawdopodobieństwa. Od tego momentu stało się jasne.

Zależne od wydarzeń w teorii prawdopodobieństwa jest dopuszczalne tylko za ich zbioru. implikują one zależność jeden na drugim, to znaczy, że zjawisko może wystąpić jedynie w przypadku, gdy A już nastąpiło lub, wręcz przeciwnie, nie stanie, gdy to jest – główny warunek B.

Wynik eksperymentu losowego składającej się z jednego elementu – to elementarne zdarzenia. Rachunek prawdopodobieństwa mówi, że jest to zjawisko, które odbywa się tylko raz.

podstawowy wzór

Zatem, powyższe uznano koncepcję „wydarzenie”, „teorii prawdopodobieństwa”, został również podane definicje kluczowych terminów tej nauki. Teraz nadszedł czas na zapoznanie się z ważnych formuł. Wyrażenia te są matematycznie potwierdził wszystkie główne koncepcje w tak trudnym tematem, jako teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia i odgrywa ogromną rolę.

Lepiej zacząć od podstawowych formuł kombinatoryki. I przed ich rozpoczęciem, warto zastanowić się, co to jest.

Kombinatoryka – to przede wszystkim dziedzina matematyki, on studiuje ogromną liczbę liczb całkowitych i różnych permutacji obu numerów i ich elementów, różnych danych itp, co prowadzi do wielu kombinacji … Oprócz teorii prawdopodobieństwa, przemysł ten jest ważny dla statystyki, informatyki i kryptografii.

Teraz można przejść do prezentacji siebie i swoich wzorach definition.

Pierwszym z nich jest wyrażenie na liczbę permutacji, to w następujący sposób:

P_N = N ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) … 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Równanie ma zastosowanie jedynie w przypadku, gdy elementy różnią się tylko w celu ich ustawienia.

Teraz formuła placement, wygląda jak zostanie to uznane za:

A_n ^ m = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n-2) … ⋅ ⋅ (n – m + 1) = n! (N – M)!

Wyrażenie to ma zastosowanie nie tylko do jedynego elementu złożenia zamówienia, ale również do jego składu.

Trzecie równanie kombinatoryki, i że jest to ostatni przypadek, określany wzór na liczbę kombinacji:

C_n ^ m = n! ((N – M))! M!

Połączenie nazywa pobieranie próbek, które nie są uporządkowane, odpowiednio, i stosować tę zasadę.

Z formuły kombinatoryki przyszedł łatwo zrozumieć, można teraz przejść do klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wygląda na to, tego wyrażenia w sposób następujący:

P () = m: n.

We wzorze tym, M – oznacza liczbę warunków sprzyjających zdarzenia A, n – liczba równo i całkowicie elementarnych zdarzeń.

Istnieje wiele wyrażeń w artykule nie będą brane pod uwagę, ale nic dotknięte będą najważniejsze, takie jak, na przykład, prawdopodobieństwo zdarzeń wynosi:

P (A + B) = P (A) + P (B) – twierdzenie do dodawania tylko wykluczające zdarzeń;

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) – ale to tylko do dodawania kompatybilne.

Prawdopodobieństwo prac zdarzeń:

P (⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) – twierdzenie niezależnych wydarzeń;

(P (⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A) P (⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) – i na utrzymaniu.

Zakończył lista formuły imprezy. Teoria prawdopodobieństwa mówi nam twierdzenie Bayesa, który wygląda tak:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (| H_m)) (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (| H_k)), m = 1, …, n

W tym wzorze, _{H1, H2,} … H _n – jest komplet hipotez.

Na tym przystanku, zastosowanie formuły próbek zostanie uznane za konkretne zadania z praktyki.

przykłady

Jeśli uważnie każdą gałąź matematyki, to nie jest bez ćwiczeń i rozwiązań próbnych. I teorii prawdopodobieństwa: wydarzenia, przykłady tutaj są integralną częścią potwierdzający obliczeń naukowych.

Wzór liczby permutacji

Na przykład, w talii ma trzydzieści karty, zaczynając od jednego nominalnego. Następne pytanie. Ile sposoby składane talię tak, że karty o nominale jednego i dwóch nie znajdowały się dalej?

Zadanie jest ustawiony, teraz przejdźmy do czynienia z nim. Najpierw trzeba określić liczbę permutacji trzydziestu elementów, w tym celu bierzemy powyższą formułę, okazuje P_30 = 30!.

Na podstawie tej zasady, wiemy jak wiele opcji są ustanowić talię na wiele sposobów, ale należy odjąć od nich są te, w których pierwsza i druga karta będzie następny. Aby to zrobić, należy rozpocząć od wariantu, gdy pierwszy znajduje się na sekundę. Okazuje się, że pierwsza mapa może potrwać dwadzieścia dziewięć miejsc – od pierwszego do dwudziestego dziewiątego, a druga karta od drugiego do trzydziestego, okazuje dwadzieścia dziewięć miejsc dla par kart. Z kolei inni mogą wziąć dwadzieścia osiem miejsc siedzących, w dowolnej kolejności. Oznacza to, że dla przegrupowania dwudziestu ośmiu karty mają dwadzieścia osiem opcji P_28 = 28!

Powoduje to, że jeśli weźmiemy pod uwagę decyzję, gdy pierwsza karta jest na drugim dodatkową szansę, aby dostać 29 ⋅ 28! = 29!

Stosując tę samą metodę, trzeba obliczyć liczbę zbędnych opcji dla przypadku, gdy pierwsza karta znajduje się pod drugim. uzyskano również 29 ⋅ 28! = 29!

Z tego wynika, że dodatkowe opcje 2 ⋅ 29!, A niezbędnymi środkami gromadzenia talię 30! – 2 ⋅ 29!. Pozostaje tylko obliczyć.

30! = 29! ⋅ 30; 30 – 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 – 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musimy pomnożyć razem wszystkie numery od jednego do dwudziestu dziewięciu, a następnie na koniec wszystko pomnożyć przez 28. Odpowiedź uzyskano 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Przykłady rozwiązań. Wzór na liczby noclegów

W tym problem, trzeba dowiedzieć się, ile istnieją sposoby, aby umieścić piętnaście tomów na półce, ale pod warunkiem, że tylko trzydzieści tomów.

W tym zadaniu, decyzja trochę łatwiej niż poprzednie. Za pomocą znanego już wzoru, należy obliczyć całkowitą ilość trzydziestu miejscach piętnaście objętości.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ … ⋅ 28⋅ (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Reakcji, odpowiednio, jest równa 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz podjąć zadanie trochę trudniejsze. Musisz wiedzieć, ile istnieją sposoby, aby zorganizować trzydziestu dwóch książek na półkach, z zastrzeżeniem, że tylko piętnaście tomów może znajdować się na tej samej półce.

Przed rozpoczęciem decyzji pragnie wyjaśnić, że niektóre z tych problemów można rozwiązać na kilka sposobów, a to są dwa sposoby, ale zarówno w jednym i tym samym formuła jest stosowana.

W tym zadaniu można wziąć odpowiedź od poprzedniego, ponieważ nie obliczyliśmy ile razy można wypełnić półki piętnastu książek na różne sposoby. Okazało A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16.

Drugi pułk obliczona według wzoru rekonstrukcji, ponieważ znajduje się piętnaście książki, podczas gdy pozostała piętnastu. Używamy wzór P_15 = 15!.

Okazuje się, że suma będzie A_30 ^ 15 ⋅ P_15 sposoby, ale dodatkowo iloczyn wszystkich liczb od trzydziestu do szesnastu zostanie pomnożona przez iloczyn liczb od jednego do piętnastu lat, w końcu okazują iloczyn wszystkich liczb od jednego do trzydziestu, który jest odpowiedzią jest 30!

Ale ten problem można rozwiązać w inny sposób – łatwiejsze. Aby to zrobić, można sobie wyobrazić, że istnieje jedna półka przez trzydzieści książek. Wszystkie z nich są umieszczone na tej płaszczyźnie, ale ponieważ warunek wymaga, aby były dwie półki, jeden długi, że cięcie w połowie, dwa obroty piętnaście. Z tego okazuje się, że w tym układzie może być P_30 = 30!.

Przykłady rozwiązań. Wzór liczby kombinacji

Kto jest uważany za wariant trzeci problem kombinatoryki. Trzeba wiedzieć, jak wiele sposobów istnieją zorganizować piętnaście książek pod warunkiem, że musisz wybrać z trzydziestu dokładnie tak samo.

Dla decyzji będzie oczywiście zastosować wzór na liczbę kombinacji. Z warunkiem, że staje się jasne, że kolejność tych samych piętnastu książek nie jest ważne. Więc początkowo trzeba dowiedzieć się całkowitą liczbę kombinacji trzydziestu piętnaście książek.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

To wszystko. Korzystanie z tej formuły, w jak najkrótszym czasie, aby rozwiązać taki problem, odpowiedź, odpowiednio równą 155,117,520.

Przykłady rozwiązań. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Korzystanie z wzoru podanego powyżej, można znaleźć odpowiedź w prostym zadaniem. Ale będzie to wyraźnie zobaczyć i śledzić przebieg akcji.

Zadaniem zważywszy, że w urnie jest dziesięć całkowicie identyczne kule. Spośród nich cztery żółte i sześć niebieski. Zrobione z urny jednej piłki. Konieczne jest, aby wiedzieć prawdopodobieństwo dostavaniya niebieski.

Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest wyznaczenie dostavanie niebieski zdarzeń piłka A. To doświadczenie może mieć dziesięć rezultatów, które z kolei podstawowym i jednakowo prawdopodobne. W tym samym czasie, sześć z dziesięciu sprzyjają zdarzenie A. rozwiązałby następujący wzór:

P () = 6: 10 = 0,6

Stosując tę formułę, dowiedzieliśmy się, że możliwość dostavaniya niebieską piłkę wynosi 0,6.

Przykłady rozwiązań. Prawdopodobieństwo ilości zdarzeń

Kto będzie wariant, który jest rozwiązywany za pomocą wzoru prawdopodobieństwa ilości zdarzeń. Tak więc, biorąc pod uwagę stan, że istnieją dwa przypadki, z których pierwszy jest szary i pięć kul białych, podczas gdy drugi – osiem szare i cztery białe kule. W rezultacie pierwszy i drugi pudła miały na jednym z nich. Konieczne jest, aby dowiedzieć się, jakie są szanse, że brakowało kulki są szare i białe.

Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest, aby zidentyfikować zdarzenie.

• W ten sposób, – że mają szare podania pierwszej skrzynki P (A) = 1/6.
• A „- białe lampy pobierane także z pierwszym polu P (A”) = 5/6.
• The – już ekstrahowano szare kulki drugiego kanału P (B) = 2/3.
• B „- miała szare kulki drugiej kasety P (B”) = 1/3.

Według tego problemu konieczne jest jednym ze zjawisk stało: AB „lub” B. Za pomocą wzoru, otrzymujemy: P (ab „) = 18/01, P (A • B) = 10/18.

Teraz formuła mnożąc prawdopodobieństwa był używany. Następnie, aby znaleźć odpowiedź, trzeba zastosować ich równania dodając:

P = P (ab '+ A • B) = P (ab') + P (A • B) = 11/18.

W ten sposób, przy użyciu formuły, można rozwiązać takie problemy.

wynik

W artykule przedstawiono informacje na temat „teorii prawdopodobieństwa”, prawdopodobieństwo zdarzeń, które odgrywają ważną rolę. Oczywiście, nie wszystko zostało uznane, ale na podstawie tekstu prezentowanego można teoretycznie zapoznania się z tej gałęzi matematyki. Uważany nauka może być przydatna nie tylko w profesjonalnej firmy, ale także w życiu codziennym. Można go używać do obliczania wszelkich możliwości wystąpienia zdarzenia.

Tekst został również wpływ znaczących dat w historii rozwoju teorii prawdopodobieństwa jako nauki, a nazwiska osób, których prace zostały wprowadzone do niego. To w jaki sposób ludzka ciekawość doprowadziła do tego, że ludzie nauczyli się liczyć, nawet przypadkowych zdarzeń. Po ich interesuje tylko to, ale dziś jest już znany wszystkim. I nikt nie może powiedzieć, co się z nami stanie w przyszłości, co inne genialne odkrycia związane z teorią pod uwagę, byłoby popełnione. Ale jedno jest pewne – badanie jeszcze nie jest tego warte!