Regularne wielościany: elementy symetrii i obszar

Geometria jest piękne, ponieważ, w przeciwieństwie do algebry, co nie zawsze jest jasne, dlaczego i co myślisz, daje obiekt wizualny. Ten wspaniały świat z różnych organów zdobić regularne wielościany.

Ogólne informacje o regularnych wielościanów

Według wielu, regularnych wielościanów, lub są one nazywane Platońskie ciała stałe posiadają wyjątkowe właściwości. Z tych obiektów połączone kilka hipotez naukowych. Kiedy zaczynają badać geometryczne dane ciała, zdajesz sobie sprawę, że prawie nic o takiej koncepcji jak regularne wielościanów znać. Prezentacja tych przedmiotów w szkole nie zawsze jest interesująca, więc wiele nie pamiętam nawet co ich nazywano. W pamięci większości ludzi jest to tylko kostka. Żaden z geometrii nadwozia nie posiadają takiej perfekcji, a regularnych wielościanów. Wszystkie nazwy tych organów geometrycznych pochodzi ze starożytnej Grecji. Reprezentują one liczbę twarzy: czworościanu – czworoboczna, sześcienny – Allen, ośmiościan, dwunastościan – ośmiokąt – dodecahedral, icosahedron – ikozahedralnymi. Wszystkie te geometryczne ciała zajmuje ważne miejsce w koncepcji Platona wszechświata. Cztery z nich są wykonane elementy lub podmioty: czworościanu – ogień, dwudziestościan – water cube – ziemia, ośmiościan – powietrze. Dwunastościan zawarte wszystko. Był uważany za główny, jako symbol wszechświata.

Uogólnienie pojęcia wielościanu

Wielościan jest skończonym zbiorem wielokątów takie, że:

• każdy z boków każdego z wielokątów jest w tym samym czasie tylko jeden boczny innego wielokąta na tej samej stronie;
• z każdego z wielokątów można dojść do drugiej poprzez przepuszczenie ich sąsiedztwie wielokątów.

Wielokątów stanowiące wielościanu reprezentować swoje twarze i ich boku – żebra. wielościany wierzchołki są wierzchołki wielokątów. Jeśli wielokąt termin rozumieć płaskie zamknięte polilinie, a następnie przyjść do jednej definicji wielościanu. W przypadku, gdy przez to określenie ma część płaszczyzny, która jest ograniczona linią przerywaną, to należy rozumieć powierzchnię, składających się z elementów wielobocznych. Wypukły wielościan nazywa ciało leżące na jednej stronie płaszczyzny, przylegającą do jego powierzchni.

Inna definicja wielościanu i jej elementów

Wielościan zwany powierzchnię składającą wielokątów, co ogranicza ciało geometryczne. Są to:

• uwypuklony;
• wypukły (dobra i zła).

Regularne wielościan – jest wypukły wielościan z maksymalnym symetrii. Elementy regularnych wielościanów:

• Tetrahedron: 6 żebra 4 styka 5 wierzchołków;
• sześciokąt (kostki), 12, 6, 8;
• dwunastościan 30, 12, 20;
• ośmiościan 12, 8, 6;
• Dwudziestościan 30, 20, 12.

Twierdzenie Eulera

To ustanawia związek między liczbą krawędzi, wierzchołków i twarze są topologicznie równoważne kuli. Dodawanie liczby wierzchołków i ścian (B + D) mają różne regularne wielościany i porównując je z liczbą żeber, możliwe jest, aby ustawić jedną regułę: suma liczby powierzchni równej liczby wierzchołków i krawędzi (P) wzrosły o 2. Jest to możliwe do uzyskania prostego wzoru:

• B + D = P + 2.

Formuła ta jest ważna dla wszystkich wypukłych wielościanów.

podstawowe definicje

Koncepcja regularnego wielościanu da się opisać w jednym zdaniu. To jest bardziej cenione i objętość. Ciało być uznane za takie, konieczne jest, że spełnia szereg definicji. Zatem ciało geometryczne będzie regularne wielościan, gdy te warunki są spełnione:

• jest wypukła;
• taka sama liczba żeber zbiega się na każdym ze swoich wierzchołkach;
• wszystkie aspekty jego – regularnych wielokątów, równych sobie nawzajem;
• Wszystkie kątów dwuściennych są równe.

Właściwości regularnych wielościanów

Istnieje 5 różnych rodzajów regularnych wielościanów:

1. Kostka (sześciokąt) – ma płaski kąt wierzchołkowy wynosi 90 °. Posiada 3-stronne kąt. Wartość nominalna kąty na szczycie 270 ° C.
2. Tetrahedron – płaski kąt wierzchołkowy – 60 °. Posiada 3-stronne kąt. Wartość nominalna kąty przy wierzchołku – 180 ° C.
3. Ośmiościan – płaski kąt wierzchołkowy – 60 °. Ma czworoboczna kąt. Wartość nominalna kąty przy wierzchołku – 240 ° C.
4. Dwunastościan – płaski wierzchołek kąta 108 °. Posiada 3-stronne kąt. Wartość nominalna kąty przy wierzchołku – 324 ° C.
5. Icosahedron – ma płaski wierzchołek kąta – 60 °. Ma pięć jednostronny kąt. Wartość nominalna kąty na szczycie 300 ° C.

Obszar regularnych wielościanów

Powierzchnia ciał geometrycznych (S) oblicza się jako zwykły obszar wielokątnego pomnożonej przez liczbę aspektów (g):

• S = (a 2) x 2G ctg p / p.

Objętość regularnego wielościanu

Wartość tę oblicza się przez pomnożenie objętości regularnego piramidy, której podstawa jest regularny wielokąt, ilość powierzchni, a jej wysokość jest wpisany promień kuli (R):

• V = 1: 3R.

Tomy regularnych wielościanów

Podobnie jak inne geometryczne stałych, regularnych wielościanów mają różne wielkości. Poniżej znajdują się wzory, poprzez które mogą obliczyć:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• ośmiościan: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α X3;
• sześciokąt (sześcian) a x 5 3 x (3 + √5): 12;
• dwunastościan: α x 3 (15 + 7√5) 4.

Elementy regularnych wielościanów

Pręt sześciokątny i ośmiościan są podwójne organy geometryczne. Innymi słowy, mogą one dostać się od siebie w przypadku, gdy środek ciężkości z jednego jest traktowany jako drugim, i na odwrót. Są również podwójny dwudziestościan i dwunastościan. Sam tylko czworościanu jest podwójny. Zgodnie z metodą Euklidesa można otrzymać od sześcianu dwunastościanów konstruując „dachy” na twarzach sześcianu. Wierzchołki Tetrahedron jakichkolwiek 4 wierzchołkach sześcianu, nie sąsiadujące pary wzdłuż krawędzi. Od sześcianu (kostka) można uzyskać, oraz innych regularnych wielościanów. Pomimo faktu, że regularne wielokąty są niezliczone, regularne wielościany, istnieje tylko 5.

Promienie regularnych wielokątów

Z każdym z tych organów geometryczne są połączone koncentryczne kule 3:

• opisano przechodzącej przez wierzchołki;
• wpisany dotyczące każdego z jej twarzy w środku;
• Mediana dotycząca wszystkie krawędzie w środku.

Promień kuli opisano na podstawie następującego wzoru obliczono:

• R = 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Promień Kula wpisana jest obliczana w następujący sposób:

• R = 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

gdzie θ – kąt dwuścienny, która znajduje się pomiędzy przyległymi ściankami.

Średni promień kuli może być obliczona przy użyciu następującego wzoru:

• ρ = A cos p / p: 2 sin π / h

gdzie h = wielkość 4,6, 6,10 lub 10. Stosunek promieniem wpisanego opisane i symetrycznie względem p i q. Jest ona obliczana w następujący sposób:

• R / R = tg π / s x tg π / Q.

Symetria wielościanów

Symetria regularnych wielościanów jest podstawowym znaczeniu dla tych organów geometrycznych. Zrozumiałe jest, jako ruch ciała w przestrzeni, która pozostawia taką samą liczbę wierzchołków, ścian i krawędzi. Innymi słowy, pod wpływem symetrii transformacje krawędź, wierzchołek lub twarzy zachowuje swoją pierwotną pozycję, lub przesuwa się do położenia spoczynkowego innego żebra, pozostałe wierzchołki lub powierzchni.

Elementy symetrii regularnych wielościanów są wspólne dla wszystkich rodzajów brył geometrycznych. Tutaj jest ona prowadzona na przemian tożsamości, który pozostawia każdy z punktów w pierwotnym położeniu. Tak więc, po włączeniu wieloboczny pryzmat można uzyskać pewne symetrie. Każda z nich może być reprezentowana jako iloczyn refleksji. Symetria, która jest iloczynem parzystej liczbie odbić, zwany bezpośredni. Jeśli jest iloczynem nieparzystej liczby odbić, to nazywa się sprzężeniem zwrotnym. Tak więc, wszystkie zakręty wokół linii stanowią prostą symetrię. Wszelkie odbicie wielościan – jest odwrotnością symetrii.

Aby lepiej zrozumieć elementy symetrii regularnych wielościanów można wziąć przykład z czworościanu. Każdy wiersz przechodzi przez jeden z wierzchołków i środka kształtu geometrycznego nastąpi, oraz przez środek przeciwnej krawędziowej. Każdy zwojów 120 i 240 ° wokół linii należy do liczby mnogiej tetraedrycznej symetrii. Ponieważ 4 wierzchołki i twarze, otrzymujemy w sumie osiem bezpośrednich symetrie. Każda z linii przechodzącej przez środek krawędzi i środka trzonu, przechodzi przez środek przeciwległego brzegu. Każdy obrót o 180 °, zwany pół obrotu wokół prostej symetrii. Ponieważ czworościanu ma trzy pary żeber, masz trzy linie symetrii. Na podstawie powyższego można stwierdzić, że całkowita liczba bezpośrednich symetrii oraz możliwych transformacji tożsamości, będzie do dwunastu. Inne bezpośrednie symetrii czworościanu nie istnieje, ale ma 12 odwrotną symetrię. W związku z tym, tylko 24 charakteryzuje symetrii czworościanu. Dla jasności, możemy zbudować model czworościanu foremnego z tektury i upewnij się, że jest to ciało geometryczne naprawdę ma tylko 24 symetrię.

Dwunastościan i dwudziestościan – najbliżej obszaru ciała. Icosahedron ma największą liczbę powierzchni, kąt dwuścienny, a przede wszystkim może szczelnie przylegać do wpisanego kuli. Dwunastościan ma najniższe kątowe defektów największej stały kąt przy wierzchołku. Można ją zwiększyć do wypełnienia kula opisana.

skanowanie wielościany

Regularne skanowanie wielościany, które wszyscy trzymali się razem w dzieciństwie, mają wiele pojęć. Jeżeli istnieje zestaw wielokątów, każda strona, która identyfikuje się z tylko jednej strony wielościanu, identyfikacja ze stron musi spełniać dwa warunki:

• każdego wielokąta, można przejść do wielokąta mającego identyfikację boku;
• zidentyfikowania boczne powinny mieć tę samą długość.

Jest to zestaw wielokątów, które spełniają te warunki, a nazywany jest skanowanie wielościan. Każdy z tych organów ma kilka z nich. Na przykład, kostka, która znajduje się 11 sztuk.