Co jest arytmetyka? Podstawowe twierdzenie arytmetyki. arytmetyki binarnej

Co jest arytmetyka? Kiedy ludzkość zaczęła używać liczb i pracować z nimi? Gdzie są jego korzenie codziennych pojęć takich liczb, ułamków, odejmowanie, dodawanie i mnożenie, że osoba dokonała integralną część swojego życia i perspektyw? Greckie umysły podziwiał takich jak matematyka, nauki arytmetyki i geometrii, jak piękną symfonię logiki ludzkiej.

Może matematyka nie jest tak głęboki jak w innych naukach, ale to, co się z nimi stanie, ludzie zapominają o elementarnych tabliczki mnożenia? Znane nam logicznego myślenia, korzystania z numerów, ułamki i inne narzędzia, aby dać ludziom ciężko, i przez długi czas nie była dostępna dla naszych przodków. W rzeczywistości, przed rozwojem arytmetyki żaden obszar ludzkiej wiedzy nie był prawdziwie naukowy.

Arytmetyka – Matematyka jest alfabetem

Arytmetyka – nauka o liczbach, z których każda osoba zaczyna się znajomość z fascynującym światem matematyki. W słowach M. W. Łomonosowa, arytmetyka – to jest brama uczenia się, otwierając drogę dla nas Miropoznanie. Ale on ma rację, jest wiedza o świecie nie może być oddzielona od znajomości liter i liczb, matematyki i mowy? Być może w dawnych czasach, ale nie we współczesnym świecie, gdzie szybki rozwój nauki i technologii sprawia, że swoje własne prawa.

Słowo „arytmetyka” (GK „Arifmos”) pochodzenia greckiego oznacza „numer”. Bada liczbę i wszystko, co może być związane z nimi. To jest świat liczb: różne operacje na liczbach, reguł liczbowych, zadania, które są związane z mnożenie, odejmowanie, i tak dalej ..

Na ogół przyjmuje się, że pierwszym krokiem jest arytmetyka matematyka i solidna podstawa do bardziej złożonych jego części, takie jak Algebra, analizy matematycznej, wyższe matematyczne i t. D.

Głównym przedmiotem arytmetyki

Podstawą arytmetyki – jest liczbą całkowitą, właściwości i praw, które są uważane za najwyższą średnią arytmetyczną lub teoria liczb. W rzeczywistości, jak właściwe podejście jest brane pod uwagę w takim małym urządzeniu, a liczbą naturalną zależną od siły budynku – matematyki.

W związku z tym pytanie, które jest arytmetyka, odpowiedź jest prosta: jest to nauka o liczbach. Tak, o zwykłej siedem, dziewięć, a wszystko to zróżnicowanej społeczności. I tak dobrze, a najbardziej przeciętne wersy nie mogą pisać bez podstawowego alfabetu, bez arytmetyka nie można rozwiązać nawet podstawowych zadań. Dlatego wszystkie nauki zaawansowanej dopiero po rozwój arytmetyki i matematyki, jest przede wszystkim zbiorem założeń.

Arytmetyka – science-duch

Co jest arytmetyka – przyrodoznawstwo lub fantom? W rzeczywistości, jak starożytni greccy filozofowie uzasadniona, bez numerów, bez postacie w rzeczywistości nie istnieje. To tylko fantom, który jest tworzony w ludzkiej myśli podczas przeglądania stanu środowiska i jego procesów. W rzeczywistości, jaka jest liczba? Nigdzie wokół nie widzimy coś takiego można nazwać liczbę, a liczba – jest to sposób na zwiedzanie świata ludzkiego umysłu. Być może badanie to mamy wewnątrz siebie? Filozofowie spierają się o to od wielu wieków w rzędzie, tak aby dać wyczerpującą odpowiedź nie podjąć. Tak czy inaczej, arytmetyka mogła tak mocno swojego stanowiska we współczesnym świecie nikt nie może być uznane za społecznie przystosowane bez wiedzy jej fundamentów.

Ponieważ nie była dodatnia

Oczywiście główny przedmiot działający arytmetyczne, – naturalne liczby na przykład 1, 2, 3, 4, …, 152 … etc. Arytmetyka liczb naturalnych jest rezultatem kosztem zwykłych przedmiotów, takich jak krowy na łące. Mimo to, definicja „dużo” lub „trochę”, gdy coś przestał trzymać ludzi i musiał wymyślić bardziej wyrafinowane techniki liczenia.

Ale prawdziwy przełom nastąpił, gdy umysł ludzki osiągnął punkt może być jeden i ten sam numer „dwa” w celu wyznaczenia i 2 kg i 2 cegły i 2 części. Fakt, że jest to niezbędne do abstrahować od formy, cech i znaczeń obiektów, wówczas możemy produkować jakąś akcję z tymi obiektami w postaci liczb całkowitych dodatnich. W ten sposób narodził się arytmetykę liczb, które są rozwijane i poszerzane w zajmując pozycję w społeczeństwie.

Takie dogłębne pojęcia liczby, jako zera i liczb ujemnych, frakcje, numery odnoszą się do numerów w inny sposób, ma bogatą i ciekawą historię rozwoju.

Arytmetyczne i praktyczne Egipcjanie

Dwa starożytne ludzki towarzysz w badaniu świata i rozwiązywanie codziennych problemów – to arytmetyka i geometria.

Uważa się, że historia arytmetyki ma swoje początki w starożytnym Wschodzie: Indiach, Egipcie, Babilonie i Chinach. Więc Rhind papirus egipski pochodzenie (nazwany tak dlatego, że sama nazwa należąca do właściciela), pochodzący z XX wieku. BC, oprócz innych cennych danych zawiera rozszerzenie frakcji w ilości frakcji o różnych mianownik i licznik równej jeden.

Na przykład: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Ale jaki jest sens takiego skomplikowanego rozkładu? Fakt, że egipski podejście nie toleruje wydobywane myśleć o liczbach, wręcz przeciwnie, obliczenia zostały wykonane jedynie w celach praktycznych. Oznacza to, że Egipcjanie będą zaangażowani w takiej działalności jak obliczeń, wyłącznie w celu zbudowania grób, na przykład. Trzeba było obliczyć długość płetwy struktury, i to za osoba siedzieć papirus. Jak można zauważyć, egipski postęp w obliczeniach nazwano, raczej masywna, budowanie, a nie miłości nauki.

Z tego powodu, obliczenia znalezione na papirusach, nie można nazwać refleksje na temat frakcji. Najprawdopodobniej jest to praktyczne przygotowanie, które przyczyniły się do dalszego rozwiązywania problemów z frakcji. Starożytni Egipcjanie nie zna tabliczki mnożenia, produkowane dość długich obliczeń, rozłożone na wiele podzadań. Być może jest to jeden z tych podzadań. Łatwo jest zauważyć, że obliczenia z tych półfabrykatów jest bardzo czasochłonne i niezbyt obiecująco. Być może z tego powodu nie widzimy duży wkład w rozwój starożytnych egipskich matematyki.

Starożytna Grecja i filozoficzne arytmetyka

Wiele z wiedzy o starożytnym Wschodzie zostały skutecznie opanowane przez starożytnych Greków, znany fanom streszczenie, streszczenie i filozoficznej refleksji. Praktykować je zainteresowany nie mniej jednak najlepsi teoretycy i myśliciele są trudne do znalezienia. To było dobre dla nauki, bo matematyka nie jest możliwe, aby przejść głębokie, nie rozrywając go z rzeczywistością. Oczywiście, możliwe jest, aby pomnożyć 10 krów i 100 litrów mleka, ale nie są w stanie poruszać się daleko.

Grecy myślenia głęboko pozostawił znaczący ślad w historii, a ich prace przychodzą do nas:

• Euklides i „Elements”.
• Pitagoras.
• Archimedes.
• Eratostenes.
• Zenon.
• Anaksagoras.

I, oczywiście, okazuje całą filozofię Greków, a zwłaszcza zwolennicy przypadkach Pitagoras był tak pasjonatem numerów, które im tajemnicą świat harmonii rozważanych. Numery zostały zbadane i badane tak, że niektóre z nich i ich par przypisane specjalne właściwości. Na przykład:

• Liczby doskonałe – te, które są sumą wszystkich dzielników oprócz samej liczby (6 = 1 + 2 + 3).
• numery domowych – te numery, z których jeden jest suma wszystkich dzielników drugiej i odwrotnie (Pitagorasa wiedzieć tylko jedną taką parę: 220 i 284).

Grecy, którzy uważali, że nauka powinna być kochanym, a nie być z nią ze względu na zysk, poczyniły wielkie postępy, badając, gry i dodawanie liczb. Należy zauważyć, że nie wszystkie z tych badań były szeroko stosowane, niektóre z nich były tylko „dla urody”.

Wschodnich myślicieli średniowiecza

Podobnie w średniowieczu arytmetycznych zawdzięcza swój rozwój wschodnich współczesnych. Indianie dali nam dane, które aktywnie korzystają coś takiego jak „zero”, a zmiana położenia układu obliczeniowego, zwykły nowoczesne postrzeganie. Z Al-owsianki, która w 15 wieku pracował w Samarkandzie, mamy odziedziczył dziesiętnych, bez których trudno sobie wyobrazić nowoczesną arytmetyki.

Pod wieloma względami, Europa zapoznał się z osiągnięciami Wschodu było możliwe dzięki pracy włoskiego naukowca Leonardo Fibonacciego, który napisał książkę „Liber abaci”, zapoznanie z orientalnych innowacji. Stało się podstawą rozwoju algebry i arytmetyki, badań i działalności naukowej w Europie.

rosyjski arytmetyka

Wreszcie, arytmetyka, znalazła swoje miejsce i swoje korzenie w Europie zaczęła się rozprzestrzeniać na rosyjskiej ziemi. Najpierw rosyjskie arytmetyka opublikowany w 1703 roku – była to książka o arytmetycznej Leontiya Magnitskogo. Przez długi czas był to jedyny poradnik w matematyce. Zawiera on początkowe momenty algebry i geometrii. Liczby, które zostały użyte w przykładach pierwszego podręcznika Rosji arytmetyki, arabski. Choć cyfry arabskie zostały spełnione przed, w rycin sięga 17 wieku.

Sama książka jest ozdobiona wizerunkami Archimedesa i Pitagorasa, a na pierwszej stronie – obraz arytmetyki jako kobieta. Siada na tronie, pod nim jest napisane w języku hebrajskim słowo imię Boga, a na schodach prowadzących do ołtarza, wyryto słowa „podział”, „wzrost”, „dodatkiem”, i tak dalej. D. Można sobie tylko wyobrazić, co wartość zdradzony takie prawdy, które są obecnie uznawane za powszechne.

Podręcznik 600 stronach opisuje jako podstawa jak dodawanie i mnożenie, stoły i wniosków o naukach nawigacyjnych.

Nic dziwnego, że autor wybrał wizerunek greckich myślicieli o książce, bo sam był urzeczony pięknem arytmetyki, mówiąc: „Arytmetyka jest chislitelnitsa nie jesteś sprawiedliwy, nezavistnoe …”. Takie podejście do arytmetyki jest zasadne, ponieważ to jest jego powszechne przyjęcie można uznać za początek szybkiego rozwoju myśli naukowej w Rosji oraz kształcenia ogólnego.

niespokojny liczb pierwszych

liczba pierwsza – jest liczbą naturalną, która jest tylko 2 dodatnich dzielników: 1 i siebie. Wszystkie pozostałe numery, z wyjątkiem 1 nazywa kompozytowe. Przykłady liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11 i wszystkie inne, które nie mają innych dzielników niż 1, a sam numer.

Jeśli chodzi o numerze 1, jest na wagę złota – istnieje zgoda, że należy uznać, ani proste, ani związek. Prosta na pierwszy rzut oka, to prosta liczba kryje wiele niewyjaśnionych tajemnic w sobie.

twierdzenie Euklidesa mówi, że nieskończenie wiele liczb pierwszych, a Eratostenes wymyślił specjalną arytmetyczna „sito”, który eliminuje skomplikowane numery, pozostawiając jedynie proste.

Jego istotą jest podkreślenie pierwszy numer cofnąć, a w kolejnym wykreślenie tych, które są wielokrotnością niego. Mamy powtórzyć tę procedurę kilka razy – i dostać tablicę liczb pierwszych.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki

Wśród uwag dotyczących liczb pierwszych trzeba specjalnie wspomnieć podstawowe twierdzenie arytmetyczne.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki stwierdza, że każda liczba całkowita większa niż 1, lub prosty lub można ją rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych z nakazu czynników powtórzeń, tylko w ten sposób.

Podstawowe twierdzenie arytmetyki okazały się dość skomplikowana, a zrozumienie nie jest jak tylko podstawy.

Na pierwszy rzut oka, liczb – elementarnego pojęcia, ale tak nie jest. Fizyka też kiedyś uważany elementarny atom, aż znalazła się wewnątrz wszechświata. Najwyżsi poświęcony piękna historia matematyka Don Zagier „Pierwsze pięćdziesiąt milionów liczb.”

Od „trzech jabłek” do przepisów dedukcyjnych

Że naprawdę można nazwać wzmocnione podstawą wszelkiej nauki – prawa arytmetyki. Nawet jako dziecko cała arytmetyka twarz, badając liczbę nóg i ramion w lalek, liczbę kostek, jabłka i tak dalej. D. Więc badamy arytmetyki, który następnie postępuje w bardziej skomplikowanych przepisów.

Całe nasze życie wprowadza nas do zasad arytmetyki, które były dla zwykłego człowieka najbardziej przydatna wszystkim, że nauka daje. Badanie liczb – jest to „arytmetyczno-baby”, który wprowadza człowieka w świat liczb jako cyfry we wczesnym dzieciństwie.

Wyższa arytmetyczno – dedukcyjne nauka badająca prawa arytmetyki. Większość z nich znamy, choć być może nie znamy ich dokładną treść.

Prawo dodawania i mnożenia

Każde dwie liczby całkowite, a i b mogą być wyrażona jako suma a + b, które również jest liczbą naturalną. Jeśli chodzi o dodawanie, następujących ustaw:

• Przemienne, który mówi, że permutacja warunków umieszcza kwoty nie zmienia, lub a + b = b + a.
• Asocjacyjne, że wspomniana suma nie jest zależne od sposobu grupowanie terminów w miejscach, lub + (b + c) = (a + b) + c.

Zasady arytmetyki, takie jak dodawanie, – jeden z podstawowych, ale są one używane wszystkich nauk, nie wspominając o życiu codziennym.

Każde dwie liczby A i B można wyrazić w produkcie lub b * a * b *, który również jest liczbą naturalną. Aby nałożyć produkt same prawa przemienności i asocjacyjne w celu dodania:

• a * b * = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * C.

Interesujące jest to, że istnieje prawo, które łączy dodawanie i mnożenie, znany również jako dystrybucji lub prawem rozdzielcze:

a (b + c) = AB + AC

Ustawa ta uczy nas, aby pracować ze wspornikami, ich otwierania, dzięki czemu możemy już pracować z bardziej skomplikowanych wzorów. Są to przepisy, które poprowadzi nas poprzez osobliwy ale skomplikowanym świecie algebry.

Prawo arytmetyka zamówienie

o prawach logiki ludzkiej używa codziennie, sprawdzając swój zegarek i liczenia rachunków. A jednak, i to powinno być wykonane w określonym języku.

Jeśli mamy dwie dodatnie liczby całkowite aib, wówczas następujące opcje:

• a jest równe B lub A = B;
• mniej niż B, lub <b;
• a jest większe od b, lub a> b.

Z trzech opcji tylko może być tylko jeden. Prawo zasadniczej, która reguluje procedurę, przy czym: jeśli <b <c i b, a następnie <C.

Istnieją również przepisy, które wiążą się do działania na kolejności dodawania i mnożenia: jeśli <b, wówczas A + C <b + c, a ac <BC.

Prawa arytmetyki nauczył nas do pracy z liczbami, znakami i wsporników, obracając wszystko w harmonijną symfonię liczb.

Pozycyjny system numeracji i nonpositional

Można powiedzieć, że liczby – jest to język matematyki, z wygody, która zależy od wielu rzeczy. Istnieje wiele systemów obliczeń, które, podobnie jak alfabetów różnych językach różnią.

Rozważmy system liczbowy z punktu pozycjach wpływ na wartość ilościowej cyfry w tej pozycji. Na przykład, układ Roman jest nonpositional z których każda jest kodowana przez określony zestaw znaków specjalnych: i / V, / X / L / C / D / M Są to, odpowiednio, liczba 1/5/10/50/100/500 / 1000. W tym systemie, postać nie zmienia ilościową, w zależności na jakie stanowisko powinien: .. Pierwszy, drugi, itd. Aby uzyskać inne numery, konieczne jest, aby ustanowić podstawy. Na przykład:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Bardziej nam znane System liczebnik cyframi arabskimi jest pozycyjny. W takim systemie liczba rozładowania określa liczbę cyfr, na przykład, numery trzycyfrowe: 333, 567, itd Oblicza się ciężar wyładowania zależy od pozycji, na której rysunek jest jeden lub drugi, na przykład z Figury 8 w drugim położeniu ma wartość 80. typowy dla systemu dziesiętnego jest inny układ pozycjonowania, taki jak binarny.

arytmetyki binarnej

Znamy system dziesiętny, składający się z pojedynczych bitów i multi-bitowych liczb. Na rysunku po lewej stronie w liczbie cyfr jest dziesięć razy większa w znaczeniu do jednego po prawej stronie. Tak, kiedyś czytać 2, 17, 467, i tak dalej. D. To jest inna logika i podejście odcinek, który jest nazywany „arytmetyki binarnej.” Nie jest to zaskakujące, bo arytmetyka binarna nie jest stworzony dla logiki ludzkiej, a dla komputera. Jeśli arytmetyka liczb pochodzi z liczenia, co dodatkowo pobieranej z przedmiotem własności do „nagi” arytmetycznym, to nie będzie pracować z komputerem. Aby móc dzielić się swoją wiedzą z komputera, człowiek musiał wynaleźć obliczenia modelu.

Binary arytmetyka współpracuje z alfabetem binarnym, który składa się wyłącznie z 0 i 1. I zastosowanie tego alfabetu nazywa system binarny.

W przeciwieństwie do binarnego arytmetycznej przecinku że znaczenie położenia po lewej stronie są już nie 10, a 2 razy. Liczby binarne są postaci 111, 1001 i tak dalej. D. Jak należy rozumieć te numery? Zatem uważamy numer 1100

1. Pierwsza cyfra po lewej stronie – 1 * 8 = 8, mając na uwadze, że czwarta cyfra, co oznacza, że musi być pomnożona przez 2, możemy uzyskać pozycję 8.
2. Druga cyfra 1 * 4 = 4 (pozycja 4).
3. Trzecia cyfra 0 * 2 = 0 (pozycja 2).
4. Czwarta cyfra 0 * 1 = 0 (pozycja 1).
5. Więc nasz numer 1100 + 4 = 8 + 0 + 0 = 12.

Oznacza to, że przejście do nowej kategorii na lewo od jego znaczenia w systemie binarnym jest mnożona przez 2 i po przecinku – do 10. Taki system ma jedną wadę: jest zbyt duże kawałki wzrostu, które są wymagane do rejestrowania liczby. Przykłady liczb dziesiętnych dvochinyh jak widać w poniższej tabeli.

Liczby dziesiętne są reprezentowane w postaci binarnej poniżej.

Jest również stosowany ósemkowy i szesnastkowy system liczbowy.

Ten tajemniczy arytmetyka

Co jest arytmetyka, „dwa plus dwa” lub nieodkryte tajemnice liczb? Jak widać, arytmetyka, może i wydaje się na pierwszy rzut oka proste, ale nie jest to oczywiste zwodnicza prostota. Jest możliwe, aby uczyć dzieci, a wraz z ciotką Sowa z kreskówki „arytmetyczna-Baby”, można zanurzyć się w głębokim badań naukowych rzędu niemal filozoficzny. W historii nie upadł od liczenia obiektów wielbić piękno liczb. Jedno jest pewne: z ustanowieniem podstawowych postulatów arytmetyki, wszystkie nauka może polegać na swoim silnym ramieniem.