Jak znaleźć wyznacznik matrycy?

Znalezienie wyznacznika matrycy jest ważnym czynnikiem nie tylko dla algebry liniowej: na przykład w gospodarce, system ten rozwiązuje systemy równań liniowych z wieloma nieznanymi, które są powszechnie stosowane w problemach ekonomicznych.

Pojęcie determinantu

Określenie lub wyznacznik oznacza matrycę równą objętości równoległościanu zbudowanego na wektach lub kolumnach wierszy. Obliczyć tę wartość tylko dla macierzy kwadratowej, w której liczba wierszy i kolumn jest taka sama. Jeśli członkowie macierzy są liczbami, to wyznacznikiem będzie również liczba.

Obliczanie wyznaczników

Należy pamiętać, że istnieje kilka zasad, które mogą znacznie ułatwić takie obliczenia.

Zatem wyznacznik matrycy składającej się z jednej kadencji jest równy jej pojedynczemu elementowi. Aby obliczyć wyznacznik drugiego rzędu nie jest trudne, należy w tym celu odjąć produkt elementów znajdujących się na wtórnej przekątnej od produktu głównych elementów przekątnych.

Obliczenie wyznacznika rzędu 3 jest najłatwiejsze do wykonania zgodnie z zasadą trójkąta. W tym celu wykonujemy następujące działania:

1. Znajdujemy produkt trzech terminów matrycy zlokalizowanej na jego podstawie Diagonały.
2. Mnożymy trzy elementy na trójkątach, których podstawy są równoległe do głównej przekątnej.
3. Powtarzamy pierwsze i drugie działanie diagonalnej pomocniczej.
4. Znajdujemy sumę wszystkich wartości uzyskanych w poprzednich obliczeniach, natomiast liczby uzyskane w akapicie trzecim są oznaczone znakiem minus.

W celu łatwego znalezienia wyznacznika matrycy rzędu 4, a także większych wymiarów, należy wziąć pod uwagę właściwości, które wszystkie determinanty posiadają:

1. Wartość wyznacznika nie zmienia się po transpozycji matrycy.
2. Ponowne skoordynowanie dwóch sąsiadujących rzędów lub kolumn prowadzi do zmiany oznaczenia wyznacznika.
3. Jeśli w matrycy są dwa równe rzędy lub kolumny, lub wszystkie elementy kolumny (wiersze) są równe zeru, to jego wyznacznikiem jest zero.
4. Mnożenie liczb matrycy dowolną liczbą prowadzi do zwiększenia jego wyznacznika przez tę samą liczbę razy.

Korzystanie z powyższych właściwości ułatwia znalezienie wyznacznika macierzy dowolnego porządku. Na przykład, stosując w tym celu metodę zmniejszania kolejności, w jakiej determinant jest rozkładany na elementy rzędu (kolumny) pomnożone przez uzupełnienie algebraiczne.

Innym sposobem, co znacznie upraszcza znalezienie wyznacznika Matryca, to jego redukcja do kształtu trójkątnego, gdy wszystkie elementy pod główną przekątną są równe zeru. W tym przypadku wyznacznik matrycy oblicza się jako iloczyn liczb znajdujących się na tej przekątnej.

I wreszcie chciałbym zauważyć, że obliczenie wyznaczników, choć składa się z pozornie prostych obliczeń matematycznych, ale wymaga dużej opieki i wytrwałości.