Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Prawa rachunku prawdopodobieństwa

Wiele osób, gdy do czynienia z pojęciem „teorii prawdopodobieństwa”, przestraszony, myśląc, że jest to coś nie do zniesienia, bardzo trudne. Ale to nie jest faktycznie tak tragiczne. Dzisiaj patrzymy na podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa, nauczyć się rozwiązywać problemy konkretnymi przykładami.

nauka

Co studiuje gałąź matematyki jako „teorii prawdopodobieństwa”? Zauważa wzorców zdarzeń losowych i zmiennych. Po raz pierwszy emisja Concerned Scientists w XVIII wieku, kiedy to studiował hazardu. Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa – zdarzenie. Jest faktem, że każdy jest powiedziane przez doświadczenia lub obserwacji. Ale co to jest doświadczenie? Inną podstawową koncepcję teorii prawdopodobieństwa. Oznacza to, że ta część okoliczności nie są przypadkowo stworzony, i z celem. W odniesieniu do nadzoru, nie jest sam badacz nie uczestniczy w doświadczeniu, ale po prostu świadkiem tych wydarzeń, to nie ma żadnego wpływu na to, co się dzieje.

wydarzenia

Dowiedzieliśmy się, że podstawowa koncepcja teorii prawdopodobieństwa – imprezy, ale nie uważa klasyfikację. Wszystkie z nich są podzielone na następujące kategorie:

• Niezawodny.
• Niemożliwe.
• Losowy.

Bez względu na to, co jest wydarzeniem, które jest śledzony lub tworzone w trakcie eksperymentu, są dotknięte tą klasyfikacją. Oferujemy każdy rodzaj spotykają się oddzielnie.

pewne zdarzenie

Jest to fakt, do którego należy dokonać niezbędnych zestaw działań. Aby lepiej zrozumieć istotę, to lepiej podać kilka przykładów. To jest podporządkowana prawu i fizyki, chemii, ekonomii i matematyki wyższej. Teoria prawdopodobieństwa zawiera tak ważną koncepcję jako znaczącego wydarzenia. Oto kilka przykładów:

• Pracujemy i otrzymują wynagrodzenie w postaci płac.
• Dobrze zdał egzaminy, przeszedł konkurs na to, aby otrzymać wynagrodzenie w postaci dopuszczenia do instytucji edukacyjnych.
• Zainwestowaliśmy pieniądze w banku, dostać je z powrotem, jeśli to konieczne.

Takie zdarzenia są prawdziwe. Jeśli mamy spełnione wszystkie warunki niezbędne, należy uzyskać oczekiwany rezultat.

zdarzenie niemożliwe

Teraz rozważmy elementów teorii prawdopodobieństwa. Proponujemy, aby przejść do wyjaśnień w następujących typach wydarzeń – czyli niemożliwych. Aby rozpocząć zastrzec najważniejszą zasadę – prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zero.

Od tego preparatu nie może zostać wyłączone w rozwiązywaniu problemów. W celu zilustrowania przykładami takich zdarzeń:

• Woda jest zamrożone w temperaturze powiększonej dziesięciu (to niemożliwe).
• Brak elektryczności nie ma wpływu na produkcję (jak niemożliwe, jak w poprzednim przykładzie).

Inne przykłady podano nie jest to konieczne, w sposób opisany powyżej bardzo wyraźnie odzwierciedla istotę tej kategorii. Niemożliwe wydarzenie nigdy nie zdarza się w trakcie eksperymentu w żadnych okolicznościach.

zdarzenia losowe

Studiując elementy teorii prawdopodobieństwa, szczególną uwagę należy zwrócić na dany rodzaj zdarzenia. Są to te, badający tę naukę. W wyniku doświadczeń coś może się wydarzyć, czy nie. Ponadto, test nieograniczoną liczbę razy można przeprowadzić. Wybitne przykłady obejmują:

• Wrzucić monetę – jest to doświadczenie, lub test, utrata orła – to wydarzenie.
• Ciągnięcie piłkę z worka ślepo – testu, został złapany czerwoną piłkę – to zdarzenie i tak dalej.

Takie przykłady można nieograniczoną ilość, ale na ogół są zrozumiałe. Podsumować i usystematyzować zdobytą wiedzę o wydarzeniach z tabeli. Badania teorii prawdopodobieństwa tylko ten ostatni rodzaj wszystkie prezentowane.

prawa

Rachunek prawdopodobieństwa – nauka badająca możliwość utraty każdym razie. Podobnie jak inni, to ma pewne zasady. Następujące prawa rachunku prawdopodobieństwa:

• Zbieżność sekwencji zmiennych losowych.
• Prawo wielkich liczb.

Przy obliczaniu możliwość kompleksu można stosować skomplikowanych prostych zdarzeń, aby osiągnąć wyniki łatwiejszy i szybszy sposób. Należy zauważyć, że prawa teorii prawdopodobieństwa można łatwo udowodnione przy pomocy niektórych twierdzeń. Proponujemy, aby rozpocząć do zapoznania się z pierwszym prawem.

Zbieżność sekwencji zmiennych losowych

Zauważ, że zbieżność kilku rodzajach:

• Sekwencje zmiennych losowych zbieżności prawdopodobieństwa.
• Prawie niemożliwe.
• RMS zbieżność.
• Konwergencja w dystrybucji.

Tak więc, na bieżąco, jest to bardzo trudne do uchwycenia istoty. Oto definicje, które pomogą w zrozumieniu tematu. Zacznijmy od pierwszego spojrzenia. Sekwencja ta jest nazywana zbieżność prawdopodobieństwa, jeżeli spełnione są następujące warunki: n zbliża się do nieskończoności, liczba poszukiwane przez sekwencji jest większa niż zero, w pobliżu urządzenia.

Przejdź do następnego widoku, prawie na pewno. Mówią, że ciąg jest zbieżny prawie na pewno do zmiennej losowej z n dąży do nieskończoności, a R, z tendencją do wartości bliskiej jedności.

Kolejny typ – zbieżność RMS. Przy użyciu zbieżności SC uczenia wektora procesami losowymi redukuje się badaniu losowo koordynacji procesów.

Był to ostatni typ, niech krótko wygląd i przejść bezpośrednio do rozwiązania problemów. Konwergencja w dystrybucji ma inną nazwę – „słaby”, a następnie wyjaśnić, dlaczego. Słabą zbieżność – to zbieżność funkcji rozkładu we wszystkich punktach ciągłości funkcji rozkładu limitu.

Pamiętaj, aby dotrzymać obietnicy: słaba zbieżność jest inny od wszystkich wyżej, że zmienna losowa nie jest zdefiniowana na przestrzeni prawdopodobieństwa. Jest to możliwe, ponieważ warunek jest utworzone wyłącznie przy użyciu funkcji dystrybucji.

Prawo wielkich liczb

Wielki pomocnik w dowodzie prawa będą twierdzenia teorii prawdopodobieństwa, takie jak:

• Nierówność Czebyszewa.
• Twierdzenie Czebyszewa użytkownika.
• Uogólnione twierdzenie Czebyszewa.
• Markowa twierdzenie.

Jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie te twierdzenia, to problem może potrwać kilkadziesiąt arkuszy. Mamy głównym zadaniem – jest zastosowanie teorii prawdopodobieństwa w praktyce. Proponujemy wam teraz i to zrobić. Ale zanim rozważymy aksjomaty teorii prawdopodobieństwa, są kluczowymi partnerami w rozwiązywaniu problemów.

aksjomaty

Od samego początku, już widzieliśmy, gdy mówimy o zdarzenie niemożliwe. Pamiętajmy: prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zero. Przykład dali bardzo plastyczny i zapamiętania: śnieg spadła przy temperaturze powietrza trzydzieści stopni Celsjusza.

Drugi to następująco: pewne zdarzenie z prawdopodobieństwem jedności. Teraz pokażemy, jak to jest napisane z pomocą języka matematycznego: P (B) = 1.

Po trzecie: zdarzenie losowe może się zdarzyć lub nie, ale możliwość jest zawsze różnią się od zera do jednego. Im bliżej jest do jedności, tym więcej szans; jeśli wartość jest bliska zeru, prawdopodobieństwo jest bardzo niskie. Piszemy to w języku matematycznym: 0 <P (C) <1.

Rozważmy ostatni, czwarty aksjomat, to jest: suma prawdopodobieństwa wystąpienia dwóch zdarzeń jest równa sumie ich prawdopodobieństwa. Napisz kategoriach matematycznych: P (A + B) = P (A) + P (B).

Aksjomaty teorii prawdopodobieństwa – to prosta zasada, że nie będzie trudne do zapamiętania. Spróbujmy rozwiązać pewne problemy, w oparciu o już nabytej wiedzy.

bilet loterii

Po pierwsze, należy rozważyć najprostszy przykład – na loterii. Wyobraź sobie, że kupił bilet loterii na szczęście. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygrasz co najmniej dwadzieścia rubli? Łączny nakład jest zaangażowany w tysiąc biletów, z których jeden ma nagrodę w wysokości pięciuset rubli, sto dziesięć rubli, dwudziestu i pięćdziesięciu rubli i sto – Pięć. Zadaniem teorii prawdopodobieństwa na podstawie, jak znaleźć drogę do szczęścia. Teraz wspólnie przeanalizować decyzję powyżej widoku Zadania.

Jeśli oznaczymy przez nagrodę pięciuset rubli, to prawdopodobieństwo jest równe 0,001. W jaki sposób możemy uzyskać? Wystarczy liczby „szczęście” bilety podzielona przez liczbę całkowitą (w tym przypadku: 1/1000).

W – zysk stu rubli, prawdopodobieństwo będzie równa 0,01. Teraz mamy działał w taki sam sposób, jak w ostatniej akcji (10/1000)

C – wypłata jest dwadzieścia rubli. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest równy 0,05.

Reszta biletów nie jesteśmy zainteresowani, jak ich pieniądze nagród jest mniejsza niż określona w stanie. Zastosuj czwarty aksjomat: Prawdopodobieństwo wygrania co najmniej dwadzieścia rubli to P (A) + P (B) + P (C). Litera P oznacza prawdopodobieństwo powstania zdarzenia, my w poprzednich krokach już znalazł ich. Pozostaje tylko ustanawiają niezbędne dane, odpowiedź otrzymujemy 0,061. Numer ten będzie odpowiedzią na pytanie o pracy.

talii kart

Problemy na teorii prawdopodobieństwa, są też bardziej złożone, na przykład, przyjąć następną pracę. Przed wami pokładu trzydziestu sześciu kart. Twoje zadanie – aby narysować dwie karty z rzędu, bez mieszania stos, pierwsze i drugie karty muszą być asy, garnitury, nie ma znaczenia.

Aby rozpocząć, znaleźć prawdopodobieństwo, że pierwsza karta jest as, to podzielić przez cztery trzydzieści sześć. Ustaw ją na bok. Otrzymujemy druga karta jest asem z prawdopodobieństwem trzysta trzydzieści piątą. Prawdopodobieństwo drugim przypadku zależy od karty wjechaliśmy pierwszy, jesteśmy zainteresowani, to był as, czy nie. Z tego wynika, że w przypadku zależy od zdarzenia A.

Następnym krokiem znaleźć prawdopodobieństwo jednoczesnego wdrożenia, czyli pomnożyć A i B. Ich praca jest następująca: prawdopodobieństwo jednego zdarzenia pomnożonej przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego, możemy obliczyć, zakładając, że pierwsze zdarzenie miało miejsce, czyli pierwsza karta wjechaliśmy asa.

Aby stać wszystko jest jasne, należy podać oznaczenie takiego elementu jak warunkowego prawdopodobieństwa zdarzenia. Jest ona obliczana przy założeniu, że wydarzenie stało. Oblicza się ją jak następuje: P (B / A).

Nas rozszerzyć rozwiązanie naszego problemu P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) P (A _* B) = P (B), _* P (A / B). Prawdopodobieństwo jest (4/36) _* ((3/35) / (4/36) jest obliczany przez zaokrąglenie do najbliższej setnej Mamy .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. prawdopodobieństwo, że możemy wyciągnąć dwa asy z rzędu wynosi dziewięć setnych. wartość ta jest bardzo mała, to wynika, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest bardzo niskie.

zapomniane pokój

Proponujemy zrobić niektóre więcej opcji z pracy, że studia z teorii prawdopodobieństwa. Przykłady rozwiązań niektórych z nich widzieliście w tym artykule, spróbuj rozwiązać następujący problem: Chłopiec zapomniał numeru telefonu do ostatniej cyfry swojego przyjaciela, ale ponieważ rozmowa była bardzo ważna, a następnie zaczął się podnieść po kolei. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo, że będzie nazywać nie więcej niż trzy razy. najprostszym rozwiązaniem problemu, jeśli znasz zasady, prawa i aksjomaty teorii prawdopodobieństwa.

Zanim pojawi się rozwiązanie, spróbuj rozwiązać na własną rękę. Wiemy, że ta ostatnia liczba może wynosić od zera do dziewięciu, w sumie dziesięć wartości. Wynik prawdopodobieństwo wymagane jest 1/10.

Następnie musimy rozważyć opcje pochodzenia wydarzeń, załóżmy, że chłopiec domyślić prawo i zdobył prawo, prawdopodobieństwo takich zdarzeń jest równa 1/10. Druga opcja: pierwszy poślizg wezwanie, a drugi cel. Możemy obliczyć prawdopodobieństwo takich zdarzeń: 9/10 pomnożonej przez 1/9 w końcu dostajemy jako 1/10. Trzecia opcja: pierwszy i drugi nabór okazał się niewłaściwy adres, tylko trzeci chłopiec był tam, gdzie chciał. Oblicz prawdopodobieństwo takich zdarzeń: 9/10 pomnożonej przez 8/9 i 1/8, otrzymujemy w wyniku 1/10. Inne opcje dotyczące stanu problemu nie jesteśmy zainteresowani, to pozostaje nam określają te wyniki, w końcu mamy 3/10. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że chłopiec nazwałbym nie więcej niż trzy razy, równy 0,3.

Karty z liczbami

Przed wami dziewięć kart, z których każda jest napisana numer od jednego do dziewięciu, numery nie są powtarzane. Włożyli w pudełku i dokładnie wymieszać. Trzeba obliczyć prawdopodobieństwo, że

• walcowane parzystą liczbę;
• dwucyfrowa.

Przed przystąpieniem do decyzji przewidują, że m – to liczba udanych przypadków, a n – to łączna liczba opcji. Pozwól nam znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba jest parzysta. Nie trudno obliczyć, że nawet czterech numerów, a to jest nasz m, wszystkie dziewięć możliwych opcji, czyli m = 9. Wtedy prawdopodobieństwo jest równe 0,44 lub 4/9.

Uważamy drugim przypadku liczby wariantów dziewięciu, a pomyślny wynik nie może być w ogóle, to jest m wynosi zero. Prawdopodobieństwo, że wydłużone karta będzie zawierać liczbę dwucyfrową, jako zero.