673 Shares 3177 views

Wielokąt wypukły. Definicja wypukłego wielokąta. Diagonały wypukłego wielokąta

Te geometryczne postacie otaczają nas wszędzie. Polikle wypukłe są naturalne, na przykład pszczoły miodowe lub sztuczne (stworzone przez ludzi). Te dane są wykorzystywane do produkcji różnych rodzajów powłok, w malarstwie, architekturze, dekoracjach itp. Kąty wypukłe mają właściwość, że wszystkie punkty znajdują się po jednej stronie linii, która przechodzi przez parę sąsiednich wierzchołków tej geometrycznej figury. Istnieją inne definicje. Wypukłość jest to wielobok, który znajduje się w jednej płaszczyźnie połowy w stosunku do każdej linii zawierającej jedną ze swoich stron.

Wielokąt wypukły

W trakcie podstawowej geometrii zawsze uwzględniamy tylko proste wielokąty. Aby zrozumieć wszystkie właściwości takich figur geometrycznych , konieczne jest zrozumienie ich natury. Na początek należy rozumieć, że każda linia, której końce się pokrywa, nazywa się zamkniętą. I utworzona przez niego sylwetka może mieć różne konfiguracje. Wielokąt jest prostą zamkniętą poligoniczną linią, której sąsiednie łącza nie leżą na tej samej linii. Jej linki i szczyty są odpowiednio bokami i wierzchołkami tej geometrycznej postaci. Prosta polilinia nie może mieć przecięcia się.

Wierzchołki wieloboku są nazywane sąsiednimi, jeśli reprezentują końce jednej ze swoich stron. Liczba geometryczna, która ma n-tę liczbę wierzchołków, a więc n-tej liczby boków, nazywa się n-gon. Sama linia przerywana nazywa się granicą lub konturem tej geometrycznej postaci. Wieloboczna płaszczyzna lub wielokąt płaski nazywa się skończoną częścią dowolnej płaszczyzny ograniczonej przez nią. Sąsiednie strony tej figury geometrycznej są odcinkami linii przerywanej zaczynając od jednego wierzchołka. Nie będą sąsiadować, jeśli pochodzą z różnych wierzchołków wielokąta.

Inne definicje wielokątów wypukłych

W geometrii elementarnej istnieje wiele bardziej równoważnych definicji w kategoriach jego wartości, wskazujących, który wielobok jest nazywany wypukłym. I wszystkie te sformułowania są równie prawdziwe. Wielokąt wypukły jest uważany za:

• każdy segment, który łączy w sobie dwa punkty wewnątrz, leży w nim całkowicie;

• wewnątrz leży całe jego przekątne;

• Każdy kąt wewnętrzny nie przekracza 180 °.

Wielokąt zawsze dzieli płaszczyznę na dwie części. Jeden z nich jest ograniczony (może być zamknięty w kole), a drugi jest nieograniczony. Pierwszy nazywany jest obszarem wewnętrznym, a drugi nazywany jest zewnętrznym obszarem tej geometrycznej postaci. Ten wielokąt jest przecięciem (innymi słowy – wspólnym składnikiem) kilku pół-płaszczyzn. W tym przypadku każdy segment, który ma końcówki w punktach należących do wielokąta, należy do niego całkowicie.

Odmiany wypukłych wieloboków

Definicja wielokąta wypukłego nie wskazuje, że jest ich wiele. Każda z nich ma pewne kryteria. Zatem wypukłe wielokąty, które mają kąt wewnętrzny równy 180 °, są nazywane słabo wypukłe. Wypukła geometryczna figura z trzema wierzchołkami nazywa się trójkąta, cztery jest czworobokiem, pięć jest pięciokątem itd. Każdy z wypukłych n-gonów spełnia jeden z najważniejszych wymagań: n musi być równy lub większy niż 3. Każdy z trójkątów jest wypukły. Tego rodzaju geometryczna figura, w której wszystkie wierzchołki znajdują się na jednym okręgu, nazywa się okrągiem. Wielokąt wypukły nazywany jest opisem, jeśli wszystkie jej boki w pobliżu koła dotykają. Dwa wielokąty są nazywane równe tylko wtedy, gdy mogą być łączone przez pokrywanie się. Poligonalna płaszczyzna nazywana jest wielokątem płaskim (część płaszczyzny), która jest ograniczona tą geometryczną figurą.

Prawidłowo wypukłe wielokąty

Poprawne wielokąty są geometrycznymi figurami o jednakowych kątach i bokach. Wewnątrz nich znajduje się punkt 0, który znajduje się w tej samej odległości od każdego wierzchołka. Nazywa się środkiem tej geometrycznej postaci. Segmenty łączące środek z wierzchołkami tej geometrycznej figury nazywane są apophemes, a te, które łączą punkt 0 z bokami, są promieniem.

Prawym czworobocznym jest kwadrat. Regularny trójkąt nazywa się równobocznym. Dla takich figurek istnieje następująca reguła: każdy kąt wielokąta wypukłego wynosi 180 ° * (n-2) / n,

Gdzie n jest liczbą wierzchołków tej wypukłej geometrycznej figury.

Obszar dowolnego regularnego wielokąta jest określony przez wzór:

S = p * h,

Gdzie p jest równe połowie sumy wszystkich stron danego wielokąta, a h jest równe długości apophema.

Własności wielokątów wypukłych

Wielokątne wypukłe mają pewne właściwości. Segment, który łączy w sobie dwa punkty o takiej geometrycznej postaci, musi być w niej umieszczony. Dowód:

Załóżmy, że P jest danym wypukłym wielobokiem. Przyjmujemy 2 dowolne punkty, na przykład A, B należące do P. Zgodnie z istniejącą definicją wielokąta wypukłego, punkty te znajdują się po jednej stronie linii zawierającej dowolną stronę P. W związku z tym AB posiada tę właściwość i znajduje się w P. Wypukły wielokąt jest zawsze Można rozdzielić na kilka trójkątów przez absolutnie wszystkie przekątne, które są narysowane z jednego z jego wierzchołków.

Kąty wypukłych figur geometrycznych

Kąty wypukłego wielokąta są kątami utworzonymi przez boki. Wewnętrzne naroża znajdują się w wewnętrznym obszarze tej geometrycznej postaci. Kąt utworzony przez jego boki, które zbiegają się w jednym wierzchołku, nazywa się kątem wypukłego wielokąta. Kąty przylegające do wewnętrznych kątów danej figury geometrycznej nazywane są zewnętrznymi. Każdy kąt wypukłego wielokąta umieszczonego wewnątrz niego jest równy:

180 ° – x,

Gdzie x jest wartością kąta zewnętrznego. Ta prosta formuła odnosi się do wszelkich figur geometrycznych tego typu.

Ogólnie rzecz biorąc, w przypadku kątów zewnętrznych istnieje następująca reguła: każdy kąt wypukłego wielokąta jest równy różnicy między 180 ° a wartością kąta wewnętrznego. Może mieć wartości w zakresie od -180 ° do 180 °. Dlatego, gdy kąt wewnętrzny wynosi 120 °, kąt zewnętrzny wynosi 60 °.

Suma kątów wypukłych wielokątów

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest określona wzorem:

180 ° * (n-2),

Gdzie n jest liczbą wierzchołków n-gonu.

Suma kątów wielokąta wypukłego jest obliczana dość prosto. Rozważmy taką geometryczną postać. W celu określenia sumy kątów wewnątrz wielokąta wypukłego, jeden z jego wierzchołków musi być połączony z innymi wierzchołkami. W wyniku tego działania otrzymujemy (n-2) trójkąty. Wiadomo, że suma kątów każdego trójkąta wynosi zawsze 180 °. Ponieważ ich liczba w dowolnym wielokącie równa się (n-2), suma kątów wewnętrznych takiej postaci wynosi 180 ° x (n-2).

Suma kątów wielokąta wypukłego, mianowicie dowolnych dwóch wewnętrznych i przyległych kątów zewnętrznych, dla danej wypukłej geometrycznej figury zawsze wynosi 180 °. W następstwie tego można obliczyć sumę wszystkich kątów:

180 х n.

Suma kątów wewnętrznych wynosi 180 ° * (n-2). W związku z tym suma wszystkich zewnętrznych kątów danej figury jest ustalona wzorem:

180 ° * n-180 ° – (n-2) = 360 °.

Suma zewnętrznych kątów dowolnego wielokąta wypukłego zawsze wynosi 360 ° (bez względu na liczbę boków).

Zewnętrzny kąt wypukłego wielokąta jest ogólnie reprezentowany przez różnicę między 180 ° a wartością kąta wewnętrznego.

Inne właściwości wypukłego wielokąta

Oprócz podstawowych właściwości tych geometrycznych postaci, mają inne, które pojawiają się podczas manipulacji nimi. Tak więc dowolny z wielokątów można podzielić na kilka wypukłych n-gonów. W tym celu należy kontynuować każdą ze swoich stron i wyciąć tę geometryczną figurę wzdłuż tych prostych linii. Możesz rozdzielić dowolny wielokąt na kilka wypukłych części iw taki sposób, aby wierzchołki każdego z nich pokrywały się ze wszystkimi jego wierzchołkami. Z tej figury geometrycznej bardzo łatwo jest tworzyć trójkąty, trzymając wszystkie przekątne z jednego wierzchołka. Tak więc dowolny wielokąt w ostatecznej analizie można podzielić na pewną liczbę trójkątów, co jest bardzo użyteczne w rozwiązywaniu różnych problemów związanych z takimi figurami geometrycznymi.

Obwód wypukłego wielokąta

Segmenty przerwanej linii, zwanej bokami wielokąta, są najczęściej oznaczane następującymi literami: ab, bc, cd, de, ea. Są to boki geometrycznej postaci z wierzchołkami a, b, c, d, e. Suma długości wszystkich stron tego wypukłego wielokąta nazywa się jego obwodem.

Okrąg wielokąta

Wielokąt wypukły można opisać i opisać. Krąg dotykający wszystkich stron tej geometrycznej postaci nazywa się wpisywanym do niej. Wielokąt taki nazywany jest opisem. Środek okręgu, który jest wpisany w wielokąt, jest punktem przecięcia prostokątnych kątów wewnątrz danej figury geometrycznej. Powierzchnia takiego wielokąta równa się:

S = p * r,

Gdzie r jest promieniem wpisanego okręgu, a p jest semiperimetrem danego wieloboku.

Okrąg zawierający wierzchołki wieloboku nazywa się opisywanym w pobliżu. W tym przypadku ta wypukła geometryczna postać nazywa się wpisaną. Środek okręgu, który jest opisany w pobliżu takiego wielokąta, stanowi punkt przecięcia tak zwanych środkowych prostokątów wszystkich stron.

Diagony z wypukłych figur geometrycznych

Przekątne wielokąta wypukłego to segmenty łączące sąsiednie wierzchołki. Każdy z nich leży w tej geometrycznej postaci. Liczba przekątnych takiego n-gonu jest ustalona wzorem:

N = n (n-3) / 2.

Liczba przekątnych wypukłych wieloboków odgrywa istotną rolę w geometrii elementarnej. Liczba trójkątów (K), do których można wypłynąć każdy wypukły wielokąt, oblicza się według następującego wzoru:

K = n – 2.

Liczba przekątnych wypukłego wielokąta zawsze zależy od liczby wierzchołków.

Dzielenie wypukłego wielokąta

W niektórych przypadkach, aby rozwiązać problemy geometryczne, konieczne jest zerwanie wielokąta wypukłego na kilka trójkątów o rozłącznych przekątnych. Ten problem można rozwiązać przez wyprowadzenie określonej formuły.

Definicja problemu: nazywamy pewnym rozkładem wypukłego n-gona na kilka trójkątów przecinkami przekątnymi tylko na wierzchołkach tej geometrycznej postaci.

Rozwiązanie: Załóżmy, że P1, P2, P3 …, Pn są wierzchołkami tego n-gonu. Liczba Xn jest liczbą jego partycji. Dokładnie przeanalizujemy powstałą przekątną geometrycznej wielkości Pi Pn. W dowolnej regularnej partycji P1 Pn należy do pewnego trójkąta P1 Pi Pn, dla którego 1 <i <n. Wychodząc z tego i zakładając, że i = 2,3,4 …, n-1 otrzymujemy (n-2) grupy tych przegród, do których włączone są wszystkie możliwe szczególne przypadki.

Niech i = 2 będzie jedną z grup regularnych partycji, zawsze zawierających przekątną P2 Pn. Liczba partycji, które w nią wchodzą, zbiega się z liczbą partycji (n-1) -gon P2 P3 P4 … Pn. Innymi słowy, to jest Xn-1.

Jeśli i = 3, ta inna grupa przegród będzie zawsze zawierała przekątne P3 P1 i P3 Pn. W tym przypadku liczba regularnych partycji zawartych w tej grupie będzie pokrywać się z liczbą partycji (n-2) -gon P3 P4 … Pn. Innymi słowy, będzie to Xn-2.

Niech i = 4, a wśród trójkątów regularna przegroda musi zawierać trójkąt P1 P4 Pn, do którego przylega czworoboczny P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 … Pn. Liczba regularnych przegród takiej czworoboku równa jest X4, a liczba partycji (n-3) -gon jest równa Xn-3. W oparciu o powyższe można powiedzieć, że całkowita liczba regularnych partycji zawartych w tej grupie jest równa Xn-3 X4. Inne grupy, dla których i = 4, 5, 6, 7 … będą zawierać Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … regularnych przegród.

Niech i = n-2, to liczba regularnych partycji w danej grupie pokrywać się będzie z liczbą partycji w grupie, dla których i = 2 (innymi słowy jest równa Xn-1).

Ponieważ X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 …, to liczba wszystkich przegród wypukłych wieloboków jest równa:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Przykład:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Liczba regularnych przegród przecinających jedną przekątną

Przy weryfikacji poszczególnych przypadków można założyć, że liczba przekątnych wypukłych n-gonów jest równa iloczynowi wszystkich przegród tej liczby (n-3).

Dowód tego założenia: Załóżmy, że P1n = Xn * (n-3), to każdy n-gon może być rozkładany na (n-2) -transporty. W tym samym czasie jeden z nich można połączyć (n-3) – czworobok. Wraz z tym każdy czworokąt będzie miał przekątną. Ponieważ w tej wypukłej geometrycznej postaci można rysować dwa przekątne, oznacza to, że w dowolnym (n-3) -kolorach czworokątnych można narysować dodatkowe przekątne (n-3). W związku z tym można stwierdzić, że w dowolnej regularnej partii możliwe jest przeprowadzenie (n-3) -diagonal odpowiadających warunkom tego problemu.

Obszar wypukłych wielokątów

Często, przy rozwiązywaniu różnych problemów podstawowej geometrii, konieczne jest określenie obszaru wielokąta wypukłego. Załóżmy, że (Xi Yi), i = 1,2,3 … n jest sekwencją współrzędnych wszystkich sąsiadujących wierzchołków wielokąta, który nie ma przecięć. W tym przypadku jego obszar oblicza się według następującego wzoru:

S = ½ (Σ (Xi + Xi + 1 ) (Yi + Yi + 1 )),

Gdzie (X 1 , Y 1 ) = (X n +1 , Y n + 1 ).