Jak obliczyć powierzchnię piramidy: podstawy, bok i pełna?

W ramach przygotowań do egzaminu u studentów matematyki trzeba usystematyzować wiedzę z algebry i geometrii. Chciałbym połączyć wszystkie znane informacje, takie jak sposób obliczyć powierzchnię piramidy. Ponadto, począwszy od dna i ścianek bocznych do całej powierzchni. Jeżeli powierzchnie boczne sytuacja jest jasna, ponieważ są trójkąty, zasadą jest zawsze inna.

Jak będzie, gdy powierzchnia podstawy piramidy?

Może to być bardzo Każda wartość z dowolnego trójkąt n-kąta. A to podstawa, z wyjątkiem różnicy w liczbie kątów mogą być poprawne lub niepoprawne postać. W interesie studentów zadań na egzaminie znaleźć tylko pracy z poprawnych danych zawartych w bazie. Dlatego będziemy rozmawiać tylko o nich.

trójkąt równoboczny

Że jest równoboczny. Jeden, że wszystkie strony są równe i są oznaczone literą „A”. W tym przypadku, powierzchnia podstawy piramidy jest obliczana według wzoru:

S = ⁽² * √3) / 4.

kwadrat

Wzór do obliczenia jego powierzchnia jest najprostszy, to „” – strony jest jeszcze:

I s = ^2.

Arbitralny regularne n-gon

Na bokach wielokąta tym samym oznaczeniu. Dla liczby kątów używany łaciński się n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180 ° / n)) .

Jak wejść w obliczeniach powierzchni bocznej i całej powierzchni?

Ponieważ postać baza jest poprawny, wszystkie twarze piramidy są równe. Z których każdy jest trójkąt równoramienny, ponieważ krawędzie boczne są równe. Następnie w celu obliczenia powierzchni boku piramidy muszą wzór składający się z sumy jednomianów identyczne. Liczba składników jest określona przez ilość boków podstawy.

Powierzchnia trójkąta równoramiennego jest obliczana według wzoru, w którym połowa produktu podstawowego pomnożonej przez wysokość. Wysokość ta w piramidzie nazywa apotema. Jego oznaczenie – "A". Ogólny wzór w obszarze powierzchni bocznej jest następujący:

S = pół P * A, gdzie P – obwód podstawy piramidy.

Zdarza się, że nie jest znana po stronie dolnej, a krawędzie boczne są (a) płaski, a kąt wierzchołkowy (a). Potem opiera użyć następującego wzoru do obliczania powierzchni bocznej piramidy:

S = n / 2 do ² * α Sin.

Zadanie № 1

Warunek. Znaleźć łączną powierzchnię piramidy, jeśli jego podstawa jest trójkąta równobocznego o boku 4 cm i ma wartość √3 apotema cm.

Decyzja. Należy zacząć od obliczenia obwodu podstawy. Ponieważ jest regularnym trójkątem, a p = 3 * 4 = 12 cm apotema Jak wiadomo, można bezpośrednio obliczyć obszar całej bocznej powierzchni pół :. * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

W celu uzyskania podstawy trójkąta jest stosunek powierzchni (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Aby określić całą powierzchnię trzeba zagiąć dwóch uzyskiwanych wartości: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Odpowiedź. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Warunek. Jest regularny czworokątny piramida. Długość podstawy jest równa 7 mm, bocznej krawędzi – 16 mm. Musisz znać swoją powierzchnię.

Decyzja. Od wielościanu – prostokątne i prawidłowe, u jego podstawy jest kwadratem. Słysząc obszar bazowy i boki boczne móc liczyć kwadratowy piramidę. Wzór na rynku mają wyżej podane znaczenie. I wiem, że wszystkie twarze boku trójkąta. W związku z tym, można użyć Wzór Herona do obliczania swoich obszarów.

Pierwsze obliczenia są proste i doprowadzić do tego numeru: 49 mm ^2. Do obliczania drugiej wartości muszą semiperimeter (7 + 16 * 2) 2 = 19,5 mm. Teraz możemy obliczyć pole trójkąta równoramiennego: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54644 ^mm2. Istnieją cztery trójkąty, więc przy obliczaniu ostatecznych liczb trzeba będzie pomnożyć przez 4.

Otrzymano: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Odpowiedź. 267,576 pożądana wartość od ² mm.

Zadanie № 3

Warunek. Przy regularnym czworokątnego ostrosłupa należy obliczyć powierzchnię. Znane jest z boku kwadratu – 6 cm, wysokość – 4 cm.

Decyzja. Najprostszym sposobem, aby użyć formuły iloczynowi obwodzie i apotema. Pierwsza wartość znajduje się po prostu. Drugi trochę mocniej.

Musimy pamiętać, twierdzenie Pitagorasa i rozważyć trójkąt prostokątny. Jest on utworzony przez wysokość piramidy, apotema, będącego przeciwprostokątna. Druga noga to połowa boku kwadratu, jak wielościan wysokość mieści się w środku.

Preferowane apotema (przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego) jest równa √ (marzec ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Teraz możliwe jest obliczenie żądanej wartości: pół * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 ^(cm2).

Odpowiedź. 96 ^cm2.

Problem № 4

Warunek. Dana regularna piramida sześciokątny. Boki podstawy równej 22 mm, przy czym krawędzie boczne – 61 mm. Co to jest obszar powierzchni bocznej tej bryły?

Decyzja. Rozumowanie w nim są takie same jak opisane w №2 zadań. Tylko dano piramida tam do kwadratu u podstawy, a teraz jest to sześciokąt.

Pierwszym etapem jest obliczana przez powierzchnię podstawy o powyższym wzorze ^{(6) * 22 2 / (} 4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Teraz trzeba znaleźć pół obwód trójkąta równoramiennego, która jest po stronie twarzy. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 pozostaje wzorze Heron obliczyć powierzchnię każdego trójkąta i następnie mnoży przez sześciokrotnie, a tym, który okazał się podstawy.

Obliczenia o wzorze Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 ^cm2. Obliczenia który zapewni powierzchnię boczną: 660 * 6 = 3960 ^cm2. Pozostaje dodać je, aby dowiedzieć się całą powierzchnię: 5217,47≈5217 ^cm2.

Odpowiedź. Podstawy – 726√3 cm ² powierzchni bocznej – 3960 ^cm2, cała powierzchnia – 5217 ^cm2.