370 Shares 2375 views

Wahadło: Czas i przyspieszenie wzoru

System mechaniczny, który składa się z materiału punktu (ciała), które zawiesza się w nieważkości nierozciągliwej włókna (jego masa jest znikomy w stosunku do masy ciała) w jednorodnym polu grawitacyjnym, zwany wahadła matematycznego (inna nazwa – oscylator). Istnieją inne rodzaje urządzeń. Zamiast żarnika nieważkości pręta może być używany. Wahadło może wyraźnie ujawnić istotę wielu ciekawych zjawisk. Kiedy małe wibracje amplituda jego ruchu nazywa harmonicznej.

Ogólne informacje o systemie mechanicznym

Wzór okresu oscylacji wahadła wyhodowana holenderskich HUYGENS naukowcom (1629-1695 gg.). Ten współczesny Isaac Newton bardzo lubił układu mechanicznego. W 1656 roku stworzył pierwszy zegarek z mechanizmem wahadłowym. Oni zmierzyć czas z niezwykłą precyzją do tamtych czasów. Wynalazek ten był ważnym krokiem w rozwoju eksperymentów fizycznych i zajęć praktycznych.

Gdy wahadło jest w położeniu równowagi (wisi pionowo), przy czym siła ciężkości będzie zrównoważony przez siły naciągu przędzy. Płaski wahadła w sposób wolny rozciągliwych przędz jest system z dwoma stopniami swobody komunikacji. Przy zmianie tylko jednego z elementów zmieniających charakterystykę wszystkich jego częściach. Na przykład, jeśli nić jest zastąpiony przez pręt, to układ mechaniczny jest tylko jeden stopień swobody. Co zatem właściwości wahadła matematycznego? W ten prosty system, pod wpływem okresowych perturbacji, pojawia się chaos. W tym przypadku, gdy punkt zawieszenia nie jest w ruchu, a oscyluje wahadło jest nowe położenie równowagi. Jeśli gwałtowne wahania w górę iw dół tego układu mechanicznego staje stabilnej pozycji „do góry nogami”. Ma też swoją nazwę. Nazywa się Kapica wahadło.

Właściwości wahadła

Wahadło ma bardzo ciekawe właściwości. Wszystkie z nich są wspierane przez znanych praw fizycznych. Okres oscylacji wahadła dowolny inny, zależy od kilku czynników, takich jak wielkość i kształt korpusu, przy czym odległość od punktu zawieszenia i środka ciężkości rozkładu masy w stosunku do tego punktu. Dlatego definicja okresu wiszące ciała jest dość trudne. O wiele łatwiej jest obliczyć okres prostego wahadła, którego wzór znajduje się poniżej. W wyniku obserwacji tych wzorów można ustawić na podobnych systemów mechanicznych:

• W przypadku, przy zachowaniu tej samej długości wahadła, zawieszonego z różnych obciążeń, okres oscylacji dostać to samo, chociaż ich waga znacznie się różnią. W związku z tym okres wahadła nie zależy od ciężaru ładunku.

• Jeśli system zacznie spadać w wahadła nie jest zbyt duży, ale różne kąty, będzie się wahać z tego samego okresu, ale w różnych amplitudach. Natomiast odchylenia od środka ciężkości nie jest zbyt duże wahania ich formy będzie wystarczająco blisko harmonicznej. Okres taki wahadła nie zależy od amplitudy drgań. Ta właściwość układu mechanicznego nazywa isochronism (w greckich „Chronos” – czas „Izosov” – równe).

Okres wahadła prostego

Liczba ta oznacza naturalny okres drgań. Pomimo złożonego preparatu, sam proces jest bardzo prosty. Jeśli długość przędzy matematycznego wahadła l, a przyspieszenie ziemskie g, wartość ta jest równa:

T = 2π√L / g

Małe okres naturalnych oscylacji w żaden sposób nie zależy od masy wahadła i amplitudę drgań. W tym przypadku, jak wahadło matematyczne przesuwa o ograniczonej długości.

Oscylacje wahadła matematycznego

Wahadło waha matematyczne, które mogą być opisane za pomocą prostego równania różniczkowego:

x + ω2 sin x = 0,

gdzie x (t) – funkcja nieznana (ten kąt wychylenia dolnego położenia równowagi w czasie t, wyraża się w radianach); ω – stałą dodatnią, która jest określona na podstawie parametrów wahadła (T = √g / L, gdzie g – przyspieszenie ziemskie i L – długość prostego wahadła (zawiesina).

Równanie małe wahania w pobliżu położenia równowagi (równanie harmonicznych) w następujący sposób:

x + ω2 sin x = 0

Oscylacyjny ruch wahadła

Wahadło, które sprawia, że małe drgania, przesuwając sinusoidę. Drugie równanie różniczkowe zamówienie spełnia wszystkie wymogi i parametry takiego ruchu. Aby określić ścieżkę, czego potrzeba, aby ustawić szybkość i współrzędne, które później określone niezależnych stałych:

x = a sin (θ 0 + ωt)

gdzie θ 0 – etap początkowy, A – amplituda oscylacji ω – częstotliwość cykliczny określony z równania ruchu.

Wahadło (wzór dużych amplitudach)

Ten system mechaniczny, wykonują swoje oscylacje o dużej amplitudzie, podlega ona bardziej skomplikowanych przepisów ruchu drogowego. są obliczane według wzoru takiego jak wahadło:

sin x / 2 = U * Sn (ωt / u)

gdzie sn – sinus Jacobim, który przez U <1 jest funkcją okresową, a małe litery U, że pokrywa się z prostego sinusa. Wartość U jest określony przez następujące wyrażenie:

U = (ε + ω2) / 2ω2,

gdzie ε = E / ML2 (ML2 – energia wahadła).

Określenie nieliniowej okresu oscylacji wahadła według następującego wzoru:

T = 2π / Ω,

gdzie Ω = π / 2 * ω / 2K (U), K – eliptyczny integralną, π 3,14.

ruch wahadła z separatrix

Nazywa separatrix trajektorię układu dynamicznego, w którym dwuwymiarowej przestrzeni fazowej. Wahadło porusza się na nie okresowo. W nieskończenie długi momencie spada ona od skrajnej górnej pozycji w kierunku prędkości zerowej, a następnie jest stopniowo zyskuje. W końcu zatrzymał się, wraca do swojej pierwotnej pozycji.

Jeśli amplituda oscylacji wahadła zbliża numer pi, mówi się, że ruch w płaszczyźnie fazowego jest bliska separatrix. W tym przypadku, pod wpływem niewielkiej siły napędowej okresowego układu mechanicznego wykazuje zachowania chaotyczne.

W przypadku prostego wahadła od położenia równowagi z kąt cp występuje siła styczna Fτ = -mg przez grzech cp grawitacji. „Minus” znak oznacza, że styczna składowa skierowana w kierunku przeciwnym do kierunku odchylenia wahadła. Gdy odnosimy się poprzez przemieszczenie wahadła x wzdłuż łuku kołowego o promieniu L jest równa jego przemieszczenie kątowe cp = X / l Druga zasada Isaaka Nyutona, przeznaczony do projekcji wektora przyspieszenia i siły daje żądaną wartość:

mg τ = Fτ = -mg sin x / l

W oparciu o ten stosunek, to jest oczywiste, że wahadło jest nieliniowość jako siłę, która dąży do powrotu do położenia równowagi, nie zawsze jest proporcjonalna do przemieszczenia X, A sin x / l

Tylko wtedy, gdy wahadło matematyczne wykonuje małe wibracje, to jest oscylator harmoniczny. Innymi słowy, staje się system mechaniczny w stanie wykonywać drgania harmoniczne. Przybliżenie to jest ważna dla niemal kąty 15-20 °. Pendulum z dużymi amplitudami nie jest harmonijny.

Prawo Newtona dla małych drgań wahadła

Jeśli system mechaniczny wykonuje niewielkie oscylacje, 2nd prawo Newtona będzie wyglądać następująco:

mg τ = Fτ = -m * g / l * X.

Na tej podstawie można stwierdzić, że przyśpieszenie styczne prostego wahadła jest proporcjonalna do jego przemieszczenia ze znakiem „minus”. Jest to stan, w którym system staje oscylatora harmonicznego. Współczynnik proporcjonalności pomiędzy modułem przemieszczenie i przyspieszenie równe kwadratu częstotliwości kątowej:

ω02 = g / l; ω0 = √ g / l

Formuła ta odzwierciedla naturalną częstotliwość małych oscylacji tego rodzaju wahadła. Na tej podstawie,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / l

Obliczenia na podstawie prawa zachowania energii

Właściwości oscylujące ruchy wahadłowe można opisać za pomocą prawa zachowania energii. Należy pamiętać, że energia potencjalna wahadła w polu grawitacyjnym jest:

E = mgΔh = mgl (1 – cos α) = mgL2sin2 α / 2

Pełna energia mechaniczna jest równa potencjał kinetyczną i maksymalny: Epmax = Ekmsx = E

Po napisaniu prawo zachowania energii, biorąc pochodną lewej i prawej stronie równania:

EP + Ek = const

Ponieważ pochodną stałych jest równe 0, to (Ep + Ek) „= 0. Pochodna suma równa się sumie pochodne:

EP '= (mg / l * x2 / 2)' mg / 2L * 2x * x '= mg / l * V + Ek' = (mv2 / 2) = M / 2 (V2) „= M / 2 * 2 V * V „= mv * α,

w związku z tym:

Mg / l * Xv + MVA = V (mg / l * x + m α) = 0.

Zgodnie z ostatnią wzorze znaleźć: α = – g / l * x.

Praktyczne zastosowanie wahadła matematycznego

Przyspieszenie swobodnego spadania zależy od szerokości, ponieważ gęstość skorupy wokół Ziemi nie identyczne. Gdzie występują skały o wyższej gęstości, to będzie nieco wyższa. Przyspieszenie wahadła matematycznego jest często wykorzystywane do poszukiwań. W swoim wyglądzie pomocy różnych minerałów. Zliczenie liczby oscylacji wahadła, możliwe jest wykrycie węgla lub rudy we wnętrzu Ziemi. Wynika to z faktu, że środki te mają gęstość i wagę ponad leżący pod luźnych skał.

wahadło matematyczne wykorzystywane przez takich wybitnych uczonych, jak Sokratesa, Arystotelesa, Platona, Plutarcha, Archimedesa. Wielu z nich uważa, że system mechaniczny może wpływać na losy i życie. Archimedes użył wahadła matematycznego z jego obliczeń. W dzisiejszych czasach wielu okultystów i psychika korzystać z tego systemu mechanicznego na realizację swoich przepowiedni, czy poszukiwania zaginionych osób.

Słynny francuski astronom i naukowiec, Flammarion dla swoich badaniach wykorzystane również wahadła matematycznego. Twierdził, że z jego pomocą udało mu się przewidzieć odkrycie nowej planety, powstanie meteorytu Tunguska i inne ważne wydarzenia. Podczas II wojny światowej w Niemczech (Berlin) pracował jako wyspecjalizowany instytut wahadła. Obecnie takie badania nie jest dostępny Monachium Instytut parapsychologii. Jego praca z wahadłem pracownicy tej instytucji o nazwie „radiesteziey”.