Który jest styczny do okręgu? Właściwości stycznej do okręgu. Wspólna styczna do dwóch kół

Siecznych, stycznych – to wszystko setki razy można było usłyszeć na lekcjach geometrii. Ale kwestia szkoły za przechodzą rok, a cała ta wiedza zapomniana. Co należy pamiętać?

esencja

Określenie „styczna do okręgu” znak, być może, wszystko. Ale jest mało prawdopodobne, że wszystko będzie szybko sformułować definicję. Tymczasem nazywa linię styczną leży w tej samej płaszczyźnie, która przecina okrąg go tylko w jednym punkcie. może istnieć ich mnóstwo, ale wszystkie one mają te same właściwości, które zostaną omówione poniżej. Jak można się domyślać, punktem kontaktowym, o którym mowa w miejscu, gdzie okrąg i linia przecinają. W każdym razie, jest to jeden, jeśli jest ich więcej, to będzie poprzeczna.

Historia odkrycia i badania

Pojęcie stycznej pojawił się w czasach starożytnych. Konstrukcja tych linii na pierwszym okręgu, a następnie do elips i hiperbol paraboli, przy pomocy linijki i kompas, która odbyła się we wczesnym stadium rozwoju geometrii. Oczywiście, historia nie zachowała nazwisko odkrywcy, ale jasne jest, że nawet w tym czasie ludzie byli dobrze znane właściwości stycznej do okręgu.

W dzisiejszych czasach zainteresowanie tym zjawiskiem wybuchła ponownie – rozpoczął nową rundę badania tego pojęcia w związku z otwarciem nowych krzywych. Zatem Galileo wprowadził pojęcie cycloid i Fermat i Kartezjusz zbudowali styczną do niego. Co do kręgów, jak się wydaje, jest dla starożytnych tajemnic pozostawionych w tej dziedzinie.

właściwości

Promień uwagę na punkt przecięcia będzie prostopadle do linii. to Główną, ale nie jedyną właściwość, która jest styczna do okręgu. Inną ważną cechą obejmuje już dwie proste. Tak, za pośrednictwem jednego punktu, który znajduje się poza okręgiem, możliwe jest, aby narysować dwie styczne, a ich długości są równe. Nie ma innego twierdzenia na ten temat, ale jest rzadko odbywa się w ramach standardowego kursu szkolnego, ale jest niezwykle przydatna do rozwiązywania pewnych problemów. To idzie w następujący sposób. Z jednego punktu znajdującego się poza kręgiem, narysować styczną i sieczną do niego. Utworzone segmenty AB, AC i AD. A – skrzyżowanie linii B w punkcie styczności, C i D – przejście. W tym przypadku ważne jest następujące równanie: długość stycznej do okręgu, kwadratu jest równy iloczyn odcinków AC i AD.

Z powyższego wynika, że jest ważnym następstwem. Dla każdego punktu na kole, można zbudować stycznej, ale tylko jeden. Dowodem na to jest dość prosty: w teorii do niego prostopadle od promienia, dowiadujemy się, że tworzą trójkąt nie może istnieć. A to oznacza, że styczna – tylko jeden.

budynek

Wśród innych zadań z geometrii to specjalna kategoria, co do zasady, nie jest kochany przez uczniów i studentów. Aby rozwiązać zadania tej kategorii trzeba tylko kompas i linijki. Zadaniem budynku. Tam budują na stycznej.

Tak więc, biorąc pod uwagę okrąg i punkt leżący poza jej granicami. I trzeba poruszać się im stycznej. Jak ty to robisz? Przede wszystkim, trzeba wydać odstęp między środkiem okręgu O i ustalonym punkcie. Następnie, za pomocą kompasu należy podzielić ją na pół. Aby to zrobić, należy ustawić promień – niewiele więcej niż połowa odległości pomiędzy środkiem koła i punktu początkowego. Następnie trzeba zbudować dwie przecinające się łuki. Promieniem zmiany nie powinny być kompas i środek każdej stronie koła będzie pierwotne miejsce i O, odpowiednio. Miejsca przecięcia łuków należy podłączyć że sekcja połowę. Zapytaj w promieniu kompasu równej odległości. Ponadto, z centrum na skrzyżowaniu zbudować kolejny krąg. Będzie ona oparta zarówno na pierwotnym miejscu i O. W tym przypadku nie będzie dwóch skrzyżowań z tym problemu w kole. Że będą punkty kontaktowe dla wstępnie określonego punktu.

ciekawy

To buduje styczną do okręgu doprowadziły do narodzin różnica nazębnego. Pierwsze prace na ten temat został opublikowany przez znanego niemieckiego matematyka Leibniza. To przewiduje możliwość znalezienia maksima, minima i stycznych, niezależnie od ilości ułamkowych i niewymiernych. Cóż, teraz jest on stosowany w wielu innych obliczeń.

Ponadto styczna do koła skojarzone z geometrycznego sensie stycznej. To właśnie z tego, a jego nazwa pochodzi. Przekład z łacińskiego Tangens – „styczna”. Tak więc pojęcie to nie tylko geometria i rachunek różniczkowy, ale z trygonometrii.

dwa okręgi

Nie zawsze styczna zatragivet tylko jedna postać. Jeśli można spędzić bardzo wiele linii na jednym okręgu, to dlaczego nie odwrotnie? Możliwe. To jest właśnie problem jest w tym przypadku poważnie komplikuje, ponieważ styczna do dwóch okręgów nie może przechodzić przez dowolnym momencie, a względne położenie wszystkich tych danych może być bardzo inna.

Rodzaje i odmiany

Jeśli chodzi o tych dwóch okręgów i jednej lub więcej linii, to nawet jeśli wiesz, że to chodzi, nie jest od razu jasne, w jaki sposób wszystkie te elementy są rozmieszczone w stosunku do siebie. Na tej podstawie, istnieje kilka odmian. Tak, koło może mieć jeden lub dwa punkty wspólne, albo wcale. W pierwszym przypadku, będą się pokrywać, a drugi – na dotyk. I tu są dwie odmiany. Jeśli jednym okręgu, gdyż zostały osadzone w drugim, dotyk nazywa wewnętrzny jeśli nie – to na zewnątrz. Zrozumieć względne położenie elementów nie może opierać się tylko na rysunku, ale o informacje na temat sumy ich promieni, a odległość między ich centrach. Jeśli te dwie wartości są równe, wówczas kręgi dotykać. Jeśli pierwszy więcej – przecinają się i inaczej – nie mają wspólnych punktów.

Tak samo jest z liniami prostymi. Na dowolne dwa okręgi mające żadnych wspólnych punktów może być
budowę czterech stycznych. Dwa z nich będą pokrywać się między postaciami, są one nazywane wewnętrzny. Kilka drugi – zewnętrzny.

Jeśli mówimy o kręgach, które mają jeden punkt wspólny problem poważnie uproszczona. Faktem jest, że w każdym wzajemnym układzie, w tym przypadku styczna będą mieć tylko jeden. I przechodzi przez punkt przecięcia. Tak, że budynek nie będzie powodować trudności.

Jeżeli dane są dwa punkty przecięcia, a następnie mogą być budowane linii stycznej do okręgu, jako jednego i drugiego, ale tylko z zewnątrz. Rozwiązaniem tego problemu jest podobna do tego, co jest omówione później.

Sprostanie wyzwaniom

Zarówno wewnętrznych jak i zewnętrznych styczna do dwóch okręgów w budynku nie są tak proste, choć i ten problem jest rozwiązany. Fakt, że pomocnicza wzór jest wykorzystywany do tego, aby wzorzysty takiego sposobu sam Jest to dość problematyczne. Tak więc, biorąc pod uwagę dwa okręgi o różnych promieniach i centrów O1 i O2. Dla nich, potrzeba zbudować dwie pary stycznych.

Przede wszystkim o środku większego kręgu zbudować podtrzymujące. W tym samym czasie na kompas należy ustawić różnicę między promieniami dwóch oryginalnych postaci. Od środka mniejszego okręgu stycznego do pomocniczy zbudowany. Następnie O1 i O2 odbywają perependikulyary ich prosto do punktu przecięcia z oryginalnych figur. Jak wynika z podstawowych własności stycznej, wymagane punkty znajdują się na obu kołach. Problem ten został rozwiązany, przynajmniej w pierwszej części.

W celu zbudowania stycznych wewnętrzne muszą rozwiązać prawie Podobny problem. Znowu potrzebujemy rysunek pomocniczy, ale tym razem jego promień jest równy sumie oryginału. Dla niej skonstruować styczną od centrum jednego z tych kręgów. Dalszy przebieg decyzji można zrozumieć z poprzedniego przykładu.

Styczna do okręgu, lub nawet dwa lub więcej – nie jest to takie trudne zadanie. Oczywiście, matematycy dawno przestała rozwiązać podobne problemy ręcznie i zaufanie obliczyć specjalne programy. Ale nie sądzę, że teraz nie muszą być w stanie to zrobić samemu, ponieważ dla prawidłowego sformułowania zadania dla komputera, aby zrobić wiele i zrozumienia. Niestety, istnieją obawy, że po ostatecznym przejście do formularza testowego problemów kontroli wiedzy o budowie spowoduje uczniowie coraz więcej trudności.

Jeśli chodzi o znalezienie wspólnych stycznych do kilku kręgów, nie zawsze jest to możliwe, nawet jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie. Jednak w niektórych przypadkach możliwe jest znalezienie takiej linii.

życiowe przykłady

Wspólna styczna do dwóch okręgów jest często spotykane w praktyce, choć nie zawsze jest jasne. Przenośniki, systemy modułowe, pasy transmisyjne koła pasowe, naprężenie nici w maszynie do szycia, ale nawet po prostu łańcuch rowerowy – wszystkie przykłady życia. Więc nie sądzę, że geometryczne problemy pozostają tylko w teorii: w inżynierii, fizyki, budownictwa i wielu innych dziedzinach są w praktycznym zastosowaniu.