900 Shares 6407 views

Koło Eulera. Circles Euler – przykłady logiki

Leonard Euler (1707-1783) – znany szwajcarski i rosyjski matematyk, członek Akademii Nauk w Petersburgu, spędził większość swojego życia w Rosji. Najbardziej znanym w analizie matematycznej, statystyką, informatyką i logiką jest okrąg Eulera (diagram Eulera-Venna), używany do określenia zakresu pojęć i zestawów elementów.

John Venn (1834-1923) jest angielskim filozofem i logiką, współautorem diagramu Eulera-Venna.

Zgodne i niezgodne pojęcia

Koncepcja w logice oznacza myślenie odzwierciedlające istotne cechy klasy jednorodnych obiektów. Są one oznaczone jedną lub jedną grupą słów: "mapa świata", "dominujący quintuptakkord", "poniedziałek" itd.

W przypadku, gdy elementy objętości jednej koncepcji w całości lub częściowo należą do objętości drugiej, mówią o zgodnych pojęciach. Jeśli żaden tom wielkości pewnej koncepcji nie należy do objętości drugiej, mamy miejsce ze sprzecznymi pojęciami.

Z kolei każdy z typów pojęć posiada własny zestaw możliwych związków. Dla zgodnych pojęć jest to następujące:

  • Tożsamość (równoważność) objętości;
  • Przecięcie (częściowy zbieg okolicznościowy) objętości;
  • Podporządkowanie.

Niezgodne:

  • Podporządkowanie (koordynacja);
  • Kontrast (kontrast);
  • Sprzeczność.

Schematycznie, relacje między pojęciami w logice są zwykle oznaczane przez koła Eulina-Venna.

Stosunki równoważności

W tym przypadku pojęcia oznaczają to samo. Odpowiednio objętości tych pojęć są zbieżne. Na przykład:

A – Sigmund Freud;

B – założyciel psychoanalizy.

Albo:

A jest kwadratem;

B jest prostokątnym prostokątem;

C jest rombolem konformalnym.

Do oznaczenia użyto całkowicie koincydencyjnych kręgów Eulera.

Przecięcie (częściowy zbieg okoliczowy)

Kategoria ta obejmuje pojęcia, które mają wspólne elementy związane z przekraczaniem. Oznacza to, że objętość jednej z koncepcji jest częściowo objęta zakresem drugiego:

A – nauczyciel;

B jest miłośnikiem muzyki.

Jak widać z tego przykładu, zakres pojęć pokrywają się: pewna grupa nauczycieli może okazać się miłośnikami muzyki, a na odwrót – wśród miłośników muzyki mogą być przedstawiciele zawodu pedagogicznego. Podobny związek będzie miał miejsce w przypadku, gdy na przykład "obywatel" pojawia się jako koncepcja A, a "autoconduktor" jako B.

Podporządkowanie

Schematycznie oznaczone jako różne w kręgach Euler. Relacje między pojęciami w tym przypadku charakteryzują się tym, że koncepcja podrzędna (mniej w zakresie) jest w pełni częścią podrzędnego (większego w tomie). W tym przypadku koncepcja podrzędna nie wyczerpuje w pełni tego podrzędnego.

Na przykład:

A jest drzewem;

B – sosna.

Koncepcja B będzie podporządkowana koncepcji A. Ponieważ sosna odnosi się do drzew, pojęcie A staje się w tym przykładzie podporządkowane, "absorbując" zakres koncepcji B.

Podporządkowanie (koordynacja)

Relacja charakteryzuje dwa lub więcej pojęć, które wykluczają się wzajemnie, ale należą do pewnego wspólnego wspólnego okręgu. Na przykład:

Klarnet A;

B – gitara;

C – skrzypce;

D jest instrumentem muzycznym.

Koncepcje A, B, C nie przecinają się ze sobą, jednakże wszystkie należą do kategorii instrumentów muzycznych (pojęcie D).

Kontrast (Kontrast)

Przeciwieństwo relacji między pojęciami implikuje przypisanie tych pojęć do tego samego rodzaju. W tym przypadku jedna z koncepcji ma pewne właściwości (atrybuty), podczas gdy druga ich zaprzecza, zastępując charakter odwrotny. Mamy zatem do czynienia z antonizmami. Na przykład:

A – karzeł;

B jest olbrzymem.

Koło Eulera, z odwrotnym związkiem między pojęciami, dzieli się na trzy segmenty, z których pierwsza odpowiada koncepcji A, druga pojęcie B, a trzecia do wszystkich innych możliwych koncepcji.

Sprzeczność

W tym przypadku obie koncepcje są gatunkami tego samego rodzaju. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, jedna z koncepcji wskazuje pewne cechy (atrybuty), podczas gdy druga ich zaprzecza. Jednak w przeciwieństwie do relacji przeciwnej, druga, przeciwna koncepcja, nie zastępuje negowanych właściwości przez innych, alternatywnych. Na przykład:

A jest skomplikowanym problemem;

B to nieskomplikowane zadanie (nie-A).

Wyrażając zakres tego typu pojęć, okrąg Eulera dzieli się na dwie części – trzeciego, pośredniego ogniwa w tym przypadku nie istnieje. Tak więc koncepcje są antonimami. W tym przypadku jeden z nich (A) staje się dodatni (potwierdza pewien atrybut), a drugi (B lub nie-A) – ujemny (odmawiając odpowiedniego oznaczenia): "biała księga" – "nie biała księga", "krajowa historia" – "historia zagraniczna" itd.

Tak więc stosunek objętości pojęć względem siebie jest kluczową cechą, która decyduje o kręgach Eulera.

Relacje między zestawami

Konieczne jest również odróżnienie pojęć elementów i zbiorów, których objętość odzwierciedla kręgi Eulera. Pojęcie zestawu jest zapożyczone z nauk matematycznych i ma dość szerokie znaczenie. Przykłady logiki i matematyki prezentują je jako kolekcję przedmiotów. Same obiekty są elementami danego zbioru. "Wielu jest wielu, można sobie wyobrazić jako jeden" (Georg Kantor, założyciel teorii mnogości).

Oznaczenia zestawów są wykonywane dużymi literami: A, B, C, D …, itd., Elementy zestawów – małe litery: a, b, c, d … itd. Przykładami zestawu mogą być studenci z tej samej klasy, Na pewnej półce (lub, na przykład, wszystkie książki w danej bibliotece), strony w pamiętniku, jagody w polanie leśnej itp.

Z kolei, jeśli określony zestaw nie zawiera żadnych elementów, nazywamy puste i jest oznaczony znakiem Ø. Na przykład zestaw punktów przecięcia linii równoległych, zbioru rozwiązań równania x 2 = -5.

Rozwiązywanie problemów

Aby rozwiązać dużą liczbę problemów, okrążki Eulera są aktywnie używane. Przykłady logiki wyraźnie wskazują na związek operacji logicznych w celu ustalenia teorii. W tym przypadku wykorzystywane są tabele pojęć prawdziwych. Na przykład okrąg oznaczony nazwą A jest obszarem prawdy. Zatem obszar poza okręgiem będzie kłamstwem. Aby określić obszar wykresu dla operacji logicznej, konieczne jest odcięcie obszarów wyznaczających okrąg Eulera, w których wartości dla elementów A i B są prawdziwe.

Zastosowanie środowisk Eulera znalazło szerokie zastosowanie praktyczne w różnych dziedzinach. Na przykład w sytuacji z profesjonalnym wyborem. Jeśli dana osoba jest zainteresowana wyborem przyszłego zawodu, może kierować się następującymi kryteriami:

W – co lubię robić?

D – co mam dostać?

P – jak mogę zarobić dobre pieniądze?

Przedstawiamy to w postaci diagramu: koła Eulera (przykłady w logice są przecinkami):

Rezultatem będą te zawody, które znajdą się na przecięciu wszystkich trzech kręgów.

Koła Eulera-Venna zajmują osobne miejsce w matematyce (teoria zbioru) w obliczaniu kombinacji i właściwości. Koła Eulera zbioru elementów są umieszczone w obrazie prostokąta oznaczającego uniwersalny zestaw (U). Zamiast kręgów można również używać innych zamkniętych figur, ale istotna kwestia tego nie zmienia. Liczby przecinają się wzajemnie, zgodnie z warunkami problemu (w najbardziej ogólnym przypadku). Te liczby powinny być odpowiednio oznaczone. Ponieważ elementy rozważanych zestawów mogą działać na punkty znajdujące się w różnych segmentach diagramu. Na jego bazie możliwe jest odcięcie konkretnych obszarów, co oznacza denotacje nowo powstałych zestawów.

Za pomocą tych zestawów można wykonać podstawowe operacje matematyczne: dodawanie (suma elementów), odejmowanie (różnica), mnożenie (produkt). Ponadto dzięki diagramom Eulera-Venna możliwe jest porównywanie zestawów przez liczbę elementów w nich zawartych, a nie ich liczenie.