Progresja geometryczna i jej właściwości

Postęp geometryczny jest ważny w matematyce jako nauce iw znaczeniu stosowanym, ponieważ ma bardzo szeroki zakres, nawet w wyższej matematyce, powiedzmy, w teorii serii. Pierwsze informacje o postępach dotarły do nas ze starożytnego Egiptu w postaci znanego zadania z papirusu z Rhind około siedmiu osób mających siedem kotów. Wariacje tego zadania wielokrotnie powtarzano w innych momentach w innych krajach. Nawet wielki Leonardo z Pizy, znany lepiej jako Fibonacciego (XIII wiek), zwrócił się do niej w "Książce Abakusa".

Tak postęp geometryczny ma starożytną historię. Jest to sekwencja liczbowa z nonzero pierwszą kadencją, a każda kolejna, zaczynająca się od drugiej, jest określona wzorem nawrotu przez pomnożenie poprzedniego przez stałą niezerową liczbą, nazywaną mianownikiem progresji (zazwyczaj jest to litera q).
Oczywiście, można go znaleźć dzieląc każdy kolejny element sekwencji przez poprzedni, to znaczy z 2: z 1 = … = zn: z n-1 = …. W związku z tym, w celu określenia postępu (zn), wystarczy, aby wartość jej pierwszego okresu y1 i mianownik q były znane.

Na przykład załóżmy, że z 1 = 7, q = – 4 (q <0), uzyskuje się następujący postęp geometryczny: 7, – 28, 112, – 448, …. Jak widać, uzyskana sekwencja nie jest monotoniczna.

Przypomnijmy, że dowolna sekwencja jest monotoniczna (rosnąca / malejąca), gdy każde z jej następnych pojęć jest większe niż / mniej niż poprzednie. Na przykład sekwencje 2, 5, 9, … i -10, -100, -1000, … są monotonne, przy czym drugi to malejący postęp geometryczny.

W przypadku, gdy q = 1, w postępie wszystkie wyrażenia są równe i nazywa się stałym.

Aby sekwencja była progresją tego typu, musi spełniać następujący warunek konieczny i wystarczający, mianowicie: od drugiego, każdy z jego członków musi być średnią geometryczną sąsiadujących terminów.

Ta właściwość pozwala nam na znalezienie arbitralnego okresu progresji z znanymi dwoma pobliskimi.

N-tym termin postępu geometrycznego można łatwo znaleźć ze wzoru: zn = z 1 * q ^ (n-1), znając pierwszą termin z 1 i mianownik q.

Ponieważ sekwencja liczbowa ma sumę, kilka prostych obliczeń daje nam wzór pozwalający nam obliczyć sumę pierwszych członków progresji, a mianowicie:

S n = – (zn * q – z 1) / (1 – q).

Zastępując zn z wyrażeniem z 1 * q ^ (n-1) we wzorze, otrzymamy drugą formułę sumy tego progresji: S n = – z1 * (q ^ n – 1) / (1 – q).

Warto zwrócić uwagę na następujący interesujący fakt: bryłę glinianą odkrytą podczas wykopalisk starożytnego Babilonu, która sięga VI wieku. BC, wyraźnie zawiera sumę 1 + 2 + 22 + … + 29, równą 2 w dziesiątym stopniu minus 1. Rozwiązanie tego zjawiska nie zostało jeszcze znalezione.

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną właściwość postępu geometrycznego – stałego produktu jego wyrazów, rozmieszczonych w równej odległości od końców sekwencji.

Szczególnie ważne z naukowego punktu widzenia jest pojęcie nieskończonego postępu geometrycznego i obliczania jego sumy. Jeśli przyjmiemy, że (yn) jest progresją geometryczną mającą mianownik q spełniający warunek | q | <1, wówczas jego suma będzie stanowiła granica, do której nasza skłonność wskazuje suma jego pierwszych terminów, biorąc pod uwagę nieograniczony wzrost n, to jest z jego Zbliża się nieskończoność.

Znajdź tę sumę w końcu za pomocą następującego wzoru:

S n = y 1 / (1 – q).

I, jak pokazano praktyce, za pozorną prostotą tego postępu ukrywa się ogromny potencjał zastosowany. Na przykład, jeśli skonstruujemy sekwencję kwadratów według następującego algorytmu, łącząc punkty środkowe stron poprzedniego, wówczas ich obszary tworzą nieskończony postęp geometryczny mający mianownik 1/2. Ten sam postęp jest tworzony przez obszary trójkątów uzyskane na każdym etapie budowy, a jego suma jest równa powierzchni oryginalnego kwadratu.