Seria Maclaurina i rozkład pewnych funkcji

Student wyższej matematyki powinien wiedzieć, że suma pewnych serii mocy należących do przedziału zbieżności danej serii jest zróżnicowaną funkcją ciągłą i nieskończenie wiele razy. Powstaje pytanie: czy można stwierdzić, że dana dowolna funkcja f (x) jest sumą serii mocy? Oznacza to, że w jakich warunkach f-f f (x) może być reprezentowany przez serię zasilania? Znaczenie tego pytania polega na tym, że można w przybliżeniu zastąpić f-xf (x) sumą kilku pierwszych terminów serii mocy, czyli wielomianu. Taka substytucja funkcji przez raczej prostą ekspresję – wielomian – jest również wygodna w rozwiązywaniu pewnych problemów analizy matematycznej, a mianowicie: w rozwiązywaniu całek, w obliczaniu równań różniczkowych, i tak dalej.

Udowodniono, że dla pewnej funkcji f (x), w której możliwe jest obliczanie pochodnych do (n + 1) -tego rzędu, w tym ostatniego, w sąsiedztwie (α – R; X ₀ + R) pewnego punktu x = α, następująca formuła jest ważna:

Ta formuła nosi nazwę znanego naukowca Brooke Taylor. Seria otrzymana od poprzedniej nazywa się serią Maclaurin:

Reguła, która umożliwia rozpad na serię Maclaurin:

1. Określ pochodne zlecenia pierwszego, drugiego, trzeciego …
2. Oblicz, jaka jest pochodna przy x = 0.
3. Nagraj serię Maclaurin dla danej funkcji, a następnie określ odstęp czasu jego konwergencji.
4. Określić odstęp (-R; R), gdzie resztę formuły Maclaurin

R _n (x) -> 0 jako n → ∞ nieskończoności. W przypadku, gdy istnieje, funkcja f (x) w niej musi pokrywać się z sumą serii Maclaurin.

Teraz rozważamy serię Maclaurin dla poszczególnych funkcji.

1. A zatem pierwszy jest f (x) = e ^x . Oczywiście, jeśli chodzi o jego cechy, taka funkcja ma pochodne bardzo różnych rozkazów, a f ^(k) (x) = e ^x , gdzie k jest liczbą naturalną. Zastąpimy x = 0. Otrzymujemy f ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 … W następstwie powyższych serii e ^x Będzie wyglądać tak:

2. Seria Maclaurina dla funkcji f (x) = sin x. Natychmiast wyjaśnimy, że funkcja φ dla wszystkich nieznanych posiada pochodne, dodatkowo f ^' (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^{' '} (x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) …, f ^(k) (x) = sin (x + k * n / 2), gdzie k równa się dowolnej liczbie naturalnej. Oznacza to, że dokonując prostych obliczeń możemy dojść do wniosku, że seria dla f (x) = sin x będzie miała formę:

3. Spróbujmy teraz rozważyć funkcję f (x) = cos x. Ma pochodne dowolnego porządku dla wszystkich nieznanych i | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 … Ponownie, dokonując pewnych obliczeń, otrzymujemy, że seria dla f (x) = cos x będzie wyglądać tak:

Więc wymieniono najważniejsze funkcje, które można rozłożyć na serię Maclaurin, ale niektóre funkcje uzupełniają serie Taylor. Teraz wymieniamy je. Warto też zauważyć, że seria Taylor i Maclaurin są ważną częścią warsztatów rozwiązywania serii w wyższej matematyce. Tak więc seria Taylor.

1. Pierwszy to seria funkcji f (x) = ln (1 + x). Podobnie jak w poprzednich przykładach, dla danego f (x) = ln (1 + x) możemy dodać serię używając ogólnej postaci serii Maclaurin. Jednak dla tej funkcji seria Maclaurin może być o wiele prostsza. Łącząc niektóre serie geometryczne, otrzymamy serię dla f (x) = ln (1 + x) takiej próbki:

2. Drugi, który będzie ostateczny w naszym tekście, będzie serią dla f (x) = arctg x. Dla x należących do przedziału [-1; 1] rozszerzenie jest ważne:

To wszystko. W tym artykule rozważano najczęściej używaną serię Taylor i Maclaurin w wyższej matematyce, w szczególności w uczelniach ekonomicznych i technicznych.