Boole'a. algebra logiki. Elementy logiki matematycznej

W dzisiejszym świecie mamy coraz częściej używają różnych maszyn i gadżetów. I to nie tylko wtedy, gdy konieczne jest zastosowanie dosłownie nadludzką siłę: przenoszenie obciążenia podnieść ją do wysokości, wykopać rów głęboki i długi itd Samochody dziś zbierać roboty, jedzenie jest gotowane Multivarki i elementarne obliczenia arytmetyczne produkować kalkulatory … Coraz częściej słyszymy wyrażenie „Boole'a”. Być może nadszedł czas, aby zrozumieć rolę człowieka w tworzeniu robotów i maszyn zdolność do rozwiązywania nie tylko matematyczne, ale także problemów logicznych.

logika

W logice greckiego – uporządkowany system myślenia, który tworzy relację między danych warunkach i pozwala wnioskować na podstawie założeń i szacunków. Często pytamy siebie: „To jest logiczne” Odpowiedź potwierdza nasze założenia lub krytykuje tok myślenia. Ale proces nie zatrzymuje się tam: możemy nadal mówić.

Czasami szereg warunków (wejścia) jest tak wielka, a relacja między nimi jest tak skomplikowane i złożone, że ludzki mózg nie jest w stanie „przetrawić” wszystkie naraz. Być może trzeba więcej niż jeden miesiąc (tydzień, rok) dla zrozumienia tego, co się dzieje. Ale współczesne życie nie daje nam te przedziały czasowe, aby podejmować decyzje. A my uciekać się do pomocy komputerów. I to jest tutaj, że istnieje algebra i logika, z jego prawami i właściwości. Po pobraniu wszystkich oryginalnych danych, możemy pozwolić, aby komputer rozpoznaje wszystkie relacje, w celu wyeliminowania sprzeczności i znaleźć zadowalające rozwiązanie.

Matematyka i logika

Znani Gotfrid Vilgelm Leybnits sformułował pojęcie „logiki matematycznej”, które zadania były łatwe do zrozumienia tylko niewielki krąg uczonych. Szczególnie interesujący jest kierunek nie powoduje, a do połowy XIX wieku logiki matematycznej znanej niewielu.

Ogromne zainteresowanie w środowisku naukowym wywołał spór, w którym Anglik Dzhordzh Bul ogłosił zamiar utworzenia oddziału matematyki, które nie mają żadnego praktycznego zastosowania. Jak wiemy z historii, w tym czasie aktywnie rozwija produkcję przemysłową, opracowaliśmy wszelkiego rodzaju maszyn pomocniczych, t. E. wszystkie odkrycia naukowe miały orientację praktyczną.

Idąc dalej, możemy powiedzieć, że Boole'a – najczęściej stosowane w dzisiejszym świecie część matematyki. Więc argument, Buhl utracone.

Dzhordzh Bul

Osobowość autora zasługuje na szczególną uwagę. Nawet biorąc pod uwagę fakt, że w przeszłości ludzie dorastali przed nami, nadal należy zauważyć, że w ciągu 16 lat od Jana. Buhl nauczał w wiejskiej szkole, a do 20 roku otworzył własną szkołę w Lincoln. Matematyk doskonale opanowane pięć języków obcych, aw wolnym czasie czyta dzieła Newtona i Lagrange'a. A wszystko to – na syna zwykły robotnik głównej!

W 1839 roku, Buhl wysłał swoje pierwsze prace naukowe w Cambridge Mathematical Journal. Naukowiec zwrócił się 24 lat. praca Boole'a jest więc zainteresowanych członków Royal Society, w 1844 roku otrzymał medal za wkład w rozwój analizy matematycznej. Kilka opublikowanych prac, w których elementy logiki matematycznej, matematyki dozwolony młodych do objęcia stanowiska profesora w College Cork County zostały opisane. Przypomnijmy, że w edukacji nie był bardzo Boole'a.

pomysł

W zasadzie Boole'a jest bardzo prosta. Istnieją oświadczenia (logiczne wyrażenia), które z punktu widzenia matematyki, można określić tylko dwoma słowami: „prawda” lub „fałsz”. Na przykład, drzewa w rozkwicie wiosny – prawda, latem pada śnieg – kłamstwo. Piękno matematyki jest to, że nie jest to bezwzględnie konieczne, aby używać tylko liczb. Dla orzeczeń algebry całkiem pasuje żadnych wypowiedzi o niepowtarzalnym znaczeniu.

Tak więc, algebra logiki można stosować dosłownie wszędzie: w instrukcji planowania i pisania, analizy sprzecznych informacji na temat wydarzeń i oznaczania sekwencji czynności. Najważniejszą rzeczą – aby uświadomić sobie, że to nie ma znaczenia, w jaki sposób ustalić prawdziwości lub fałszywości oświadczenia. Z tych „jak” i „dlaczego” trzeba ignorować. Liczy się tylko stwierdzenie faktu: prawda jest kłamstwem.

Oczywiście, programowanie najważniejsze funkcje algebry logiki, które są rejestrowane za pomocą odpowiednich znaków i symboli. I nauczyć się je – to znaczy nauczyć się nowego języka obcego. Nic nie jest niemożliwe.

Podstawowe pojęcia i definicje

Nie wdając się w szczegółowe, mamy do czynienia z terminologią. Więc Boole'a zakłada:

• oświadczenia;
• operacje logiczne;
• Funkcje i prawa.

Sprawozdanie – dowolny twierdząca ekspresyjne, które mogą być interpretowane dwuwartościowej. Zapisane są w postaci liczb (5> 3) lub formułowane znanymi słów (słonia – największa ssaków). W tym przypadku, wyrażenie „szyja żyrafy nie jest” również ma prawo do istnienia, tylko Boole'a definiują ją jako „kłamstwo”.

Wszystkie oświadczenia powinny być jednoznaczne, ale mogą one być podstawowym lub związek. Najnowsze użycie logiczny pakiet. E. W związku Wyciągi Algebra orzeczeń utworzonej przez dodanie elementarnych operacji logicznych.

Operacje logiczne algebry

Mamy już pamiętać, że operacje w algebrze orzeczeń – logiczne. Podobnie jak w algebrze liczb z wykorzystaniem operacji arytmetycznych dodawanie, odejmowanie, porównywanie liczb, elementy logiki matematycznej pozwalają składu złożonych wypowiedzi, zaprzeczyć albo obliczyć wynik końcowy.

operacje logiczne sformalizowanie i prostoty wyrażonej wzorem w znanych nam arytmetycznych. Właściwości równań algebry Boole'a pozwalają na nagrywanie i obliczyć nieznane. operacje logiczne są zwykle zapisywane w tabeli prawdy. Jej elementy kolumn i określić operację obliczeniową, która odbywa się na nich, a wiersze pokazują wyniki obliczeń.

Podstawowa logika działania

Najbardziej powszechne w operacjach logicznych algebry są negacja (NOT), a logiczne AND i OR. Więc to jest możliwe, aby opisać praktycznie wszystkie etapy orzeczeń algebry. Badaliśmy szczegółowo każdy z trzech operacji.

Negacja (nie) stosowana jest tylko do jednego elementu (argumentu). Dlatego operacja nazywana jest jednoskładnikowa negacja. Aby nagrać koncepcję „a nie” za pomocą tych symboli: ¬A, A lub A !. W formie tabelarycznej wygląda to tak:

Funkcja zaprzeczenie typowego takiego oświadczenia: Jeśli to prawda, to A – jest fałszywy. Na przykład, Księżyc krąży wokół Ziemi – prawdy; Ziemia krąży wokół Księżyca – kłamstwo.

Logiczny mnożenie i dodawanie

Operacja logicznego AND nazywamy koniunkcją. Co to znaczy? Po pierwsze, że może być stosowany do dwóch argumentów, czyli ja – .. operacja binarne. Po drugie, jest to tylko w przypadku prawdziwości obu operandów (A i B) jest prawdziwe, a sam wyraz. Przysłowie „Cierpliwość i trochę wysiłku” sugeruje, że tylko dwa czynniki mogą pomóc osobie poradzić sobie z trudnościami.

Symbole używane do zapisu: A∧B, A⋅B lub A && B.

Koniunkcja jest podobna do Mnożenie w arytmetyce. Czasem i powiedzieć – logicznego mnożenia. Jeśli pomnożymy elementy wierszy tabeli, możemy uzyskać wynik podobny do logicznego myślenia.

Alternatywą jest logiczną lub operacji. Prawdą jest, jeżeli co najmniej jedna ze stwierdzeń jest prawdziwe (A lub B). Jest napisane tak: A∨B, A + B lub A || B. W tabeli prawdy dla tych operacji są:

Alternatywy podobnego dodawanie arytmetyczne. operacji logicznej dodatek ma tylko jedno ograniczenie: 1 + 1 = 1. Ale musimy pamiętać, że w formie ogranicza się do logiki matematycznej 0 i 1 (gdzie 1 – prawda, 0 – fałsz). Na przykład stwierdzenie „w muzeum można zobaczyć arcydzieło lub znaleźć dobrą firmę” oznacza to, co można zobaczyć dzieła sztuki, i to jest możliwe, aby spotkać interesującą osobę. W tym samym czasie, nie wyklucza jednoczesnego spełnienia obu wydarzeń.

Funkcje i prawa

Tak, wiemy już co operacja logiczna z wykorzystaniem algebry Boole'a. Funkcje opisać wszystkie właściwości elementów logiki matematycznej i pozwalają na uproszczenie złożonych oświadczeń złożonych. Najbardziej oczywiste i proste wydaje własność Odrzucenie operacji na instrumentach pochodnych. Przez pochodne rozumie XOR wpływu i równoważności. Jak czytaliśmy tylko z podstawowymi funkcjami, a następnie nieruchomość jest także brać pod uwagę tylko ich.

Łączność oznacza, że w sprawozdaniu, takich jak „A i B, a B„sekwencja lista argumentów nie ma znaczenia. Formuła jest napisane w następujący sposób:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Jak widać, nie jest to unikalny w połączeniu ale alternatywy.

Przemienność twierdzi, że wynik koniunkcji lub alternatywy nie zależy od tego, który element został uznany na wstępie:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Rozdzielność umożliwia ujawnienie nawiasach w wyrażeniach złożonych logicznych. Zasady są podobne do nawiasu otwarcia w mnożenie i dodawanie w Algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Właściwości jednostki i zarysowania, która może być jednym z argumentami są podobne algebraicznej mnożenie przez zero lub jeden, a oprócz jednostki:

A∧0 = 0 A∧1 = A; A∨0 = A A∨1 = 1.

Idempotentność mówi nam, że jeśli stosunkowo dwie równe operandy wynikiem działania jest taka sama, można „wyrzucić” nadmiar argumentów komplikować rozumowania. I operacji koniunkcji i alternatywy są idempotent.

B∧B = b; B∨B = B.

Nabycie pozwala także uprościć równanie. Wchłanianie stwierdza, że gdy ekspresja jest dostarczany do jednego argumentu operacji, drugi we współpracy z tym samym elementem argumentu wynikowego pochłania operacji.

A∧B∨B = b; (A∨B) ∧B = B.

Kolejność operacji

Kolejność operacji ma wielkie znaczenie. Faktycznie, jak algebra, istnieje funkcja priorytet, który korzysta z algebry Boole'a. Wzory można uprościć podlegają tylko znaczenie operacji. Ranking najbardziej znaczący do pomijalne, otrzymujemy następującą sekwencję:

1. Odmowa.

2. koniunkcji.

3. alternatywa, XOR.

4. Wpływ na równoważności.

Jak widać, tylko negację koniunkcji i nie mają równy priorytet. Priorytetem alternatywy i XOR są równe, a także priorytety implikacji i równoważności.

Funkcje implikacji i równoważności

Jak już wspomniano, w uzupełnieniu do podstawowego działania logicznych logiki matematycznej i teorii algorytmów, stosując pochodne. Jest to najczęściej implikacja i równoważność.

Implikacja lub logiczna konsekwencja – to stwierdzenie, w którym jedna akcja jest stanem, a drugi – w wyniku jego realizacji. Innymi słowy, ta propozycja z pretekstem „jeżeli … to”. „Po kolacji przychodzi liczenie”. E. Do napędu należy dokręcić na sanki wzgórza. Jeśli nie ma pragnienie, aby przejść w dół od góry, a następnie przeciągnąć sanki nie jest konieczne. Jest napisane tak: A → B lub A⇒B.

Równoważności zakłada, że efekt netto występuje tylko wtedy, gdy prawda jest taka, oba operandy. Na przykład, noc ustępuje dzień wtedy (i tylko wtedy), gdy słońce wschodzi nad horyzontem. W języku logiki matematycznej niniejszego sprawozdania jest napisane jak A≡B, A⇔B, a == B.

Inne prawa algebry Boole'a

wyrok Algebra rozwija, a wielu zainteresowanych naukowców do opracowania nowych przepisów. Najbardziej znanym są uważane postuluje szkocki matematyk O. De Morgana. Zauważył, i dał definicję takich właściwości jak najbliżej negacji, dodawania i Double Negative.

Blisko zaprzeczenie sugeruje, że nie przed nawias zaprzecza: nie (A lub B) = A lub B. nie NIE

Gdy argument jest zabroniony, niezależnie od jego wartości, mówić o Ponadto:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

I wreszcie, podwójna negacja sama wyrównuje. Ie zanim zniknie albo argumentu negacja lub pozostaje tylko jeden.

Jak rozwiązać testy

Logika zakłada uproszczenia określona równaniami. Podobnie jak w algebrze Liego, konieczne jest, aby maksymalnie ułatwić pierwszy warunek (aby pozbyć się skomplikowanych operacji wejściowych, a wraz z nimi), a następnie zacząć szukać właściwej odpowiedzi.

Co zrobić, aby uprościć? Konwersja wszystkich pochodnych w prostej operacji. Następnie odkryć wszystkie wsporniki (lub na odwrót, aby uchwyty w celu zmniejszenia tego elementu). W następnym kroku należy użyć logicznych właściwości algebry w praktyce (właściwości absorpcyjne odpowiednio zerem i jedynką, oraz t.).

Ostatecznie, równanie powinien składać się z minimalnej liczby niewiadomych w połączeniu z prostych operacji. Najprostszym sposobem, aby szukać rozwiązania, jeśli się duża liczba bliskich negatywów. Wtedy odpowiedź pojawi się jakby sama.