158 Shares 8376 views

Polyhedra. Rodzaje wielościanu i ich właściwości

Polyhedra zajmuje nie tylko znaczące miejsce w geometrii, ale także występuje w życiu codziennym każdej osoby. Nie wspominając o sztucznie stworzonych przedmiotach codziennego użytku w postaci różnych wieloboków, począwszy od pudełka zapałek i kończących się elementami architektonicznymi, w naturze występują także kryształy w postaci sześcianu (soli), pryzmatów (kryształów), piramid (scheelit), oktahedry (diament) i t E.


Pojęcie wielościanu, rodzaje polihedry w geometrii

Geometria jako nauka zawiera sekcję stereometrii, która analizuje cechy i właściwości trójwymiarowych postaci. Ciała geometryczne , których boki w przestrzeni trójwymiarowej tworzą ograniczone płaszczyzny (twarze), nazywane są "polihedra". Typy liczby polhedra ponad kilkudziesięciu przedstawicieli, różniących się liczbą i kształtem twarzy.

Niemniej jednak, wszystkie polihedra mają wspólne właściwości:

  1. Wszystkie mają 3 integralne elementy: powierzchnię czołową (powierzchnia wielokąta), wierzchołek (naroża ułożone na złączu powierzchni), krawędź (bok figury lub segment utworzony na złączu dwóch ścian).
  2. Każda krawędź poligonu łączy się z dwiema, a tylko dwiema ścianami, które są ze sobą połączone.
  3. Wypukłość oznacza, że ciało jest całkowicie umiejscowione tylko po jednej stronie płaszczyzny, na której leży jedna z twarzy. Zasadę stosuje się do wszystkich powierzchni czołowych wielościanu. Takie figury geometryczne w stereometrii nazywają polihedrą wypukłą. Wyjątkiem jest gwiazda polyhedra, która jest pochodną regularnych wielopostaciowych ciał geometrycznych.

Polifedra można podzielić na:

  1. Typy wypukłe polihedra składające się z następujących klas: zwykłych lub klasycznych (pryzmat, piramida, równoległościan), regularne (zwane również ciałami platońskimi), semi-regularne (drugie imię – ciało Archimedeana).
  2. Nieskondensowana polihedra (stearynian).

Pryzmat i jego właściwości

Stereometria jako odcinek geometrii analizuje właściwości trójwymiarowych postaci, rodzaje polihedry (pryzmat w ich liczbie). Pryzmat jest ciałem geometrycznym, który musi mieć dwie identyczne powierzchnie (zwane również podstawami), leżące równolegle do płaszczyzny, a n-tą liczbę bocznych ścianek w postaci równoległobocznych. Z kolei pryzmat ma również kilka odmian, w tym takie rodzaje polihedry jak:

  1. Równoległy – jest utworzony, jeśli w podstawie znajduje się równoległoboczny – wielobok z 2 parami równych kątów przeciwnych i dwóch par równych stron.
  2. Prosty pryzmat ma prostopadłe krawędzie do podstawy.
  3. Nachylony pryzmat charakteryzuje się obecnością kątów pośrednich (innych niż 90) pomiędzy powierzchniami czołowymi a podstawą.
  4. Prawidłowy pryzmat charakteryzuje się zasadami w postaci regularnego wielokąta o równych powierzchniach bocznych.

Podstawowe właściwości pryzmatu:

  • Zbieżne zasady.
  • Wszystkie krawędzie pryzmatu są równe i równoległe do siebie.
  • Wszystkie boczne powierzchnie mają postać równoległoboku.

Piramida

Piramida jest geometrycznym korpusem składającym się z jednej bazy i n-tej liczby trójkątnych ścian łączących się w jednym punkcie – wierzchołku. Należy zauważyć, że jeśli boczne powierzchnie piramidy są przedstawione trójkątami, to w podstawie może być trójkątny wielokąt, czworobok i pięciokąt, a więc na nieskończoność. Nazwa piramidy odpowiada wielokątowi na dole. Na przykład, jeśli na dole piramidy znajduje się trójkąt, to jest trójkątna piramida, czworoboczna jest czworokątna i tak dalej.

Piramidy są stożkowe jak polyhedra. Rodzaje polihedry tej grupy, oprócz powyższych, obejmują również następujących przedstawicieli:

  1. Regularna piramida ma regularny wielokąt na podstawie , a jego wysokość jest rzutowana na środek okręgu wpisanego w podstawę lub opisany wokół niego.
  2. Piramidę prostokątną formuje się, gdy jedna z bocznych krawędzi przecina się z podstawą pod kątem prostym. W tym przypadku krawędź ta jest słusznie nazywana wysokością piramidy.

Właściwości piramidy:

  • Jeśli wszystkie boczne krawędzie piramidy są spójne (na tej samej wysokości), wszystkie one przecinają się z podstawą pod jednym kątem, a wokół podstawy można narysować koło o środku, które pokrywa się z występem wierzchołka piramidy.
  • Jeśli na dole piramidy znajduje się regularny wielokąt, wszystkie krawędzie boczne są spójne, a twarze są trójkątami równoramiennymi.

Poprawny wielościan: typy i właściwości polihedra

W stereometrii szczególne miejsce zajmują ciało geometryczne o absolutnie równych bokach, na wierzchołkach, z których połączona jest taka sama liczba krawędzi. Ciała te nazywane są ciałami platonicznymi, czyli regularną polihedrą. Rodzaje polihedry o tych właściwościach mają tylko pięć postaci:

  1. Tetrahedron.
  2. Sześciokąt.
  3. Oktahedron.
  4. Dodekej.
  5. Ikwadron.

Prawdziwa polhedra wynika z greckiego filozofa Plato, który opisywał te obiekty geometryczne w swoich pracach i łączył je z elementami naturalnymi: ziemią, wodą, ogniem, powietrzem. Piąta postać otrzymała podobieństwo do struktury wszechświata. Jego zdaniem atomy naturalnych pierwiastków przypominają kształt regularnego polihedry. Ze względu na najbardziej fascynującą właściwość – symetrię, te geometryczne ciała cieszyły się nie tylko starożytnymi matematykami i filozofami, ale także dla architektów, artystów i rzeźbiarzy wszech czasów. Uważano, że obecność tylko 5 typów polihedry o absolutnej symetrii uznano za fundamentalne znalezisko, a nawet otrzymali związek z boskim początkiem.

Sześciokąt i jego właściwości

W kształcie sześcioboku następcy Platona przyjęli podobieństwo do struktury atomów Ziemi. Oczywiście, w chwili obecnej ta hipoteza jest całkowicie odrzucona, co jednak nie przeszkadza rysunkom przyciągania umysłów do znanych postaci w ich estetyce.

W geometrii, heksahedron, a także sześcian, jest uważany za szczególny przypadek równoległościanu, który z kolei jest rodzajem pryzmatu. Odpowiednio, właściwości kostki są związane z właściwościami pryzmatu z jedyną różnicą, że wszystkie twarze i kąty kostki są sobie równe. Oznacza to następujące właściwości:

  1. Wszystkie krawędzie kostki są spójne i leżą równolegle względem siebie.
  2. Wszystkie twarze są równorzędnymi kwadratami (jest 6 w kostce), z których każdy może być traktowany jako podstawa.
  3. Wszystkie kąty międzyfazowe są równe 90.
  4. Z każdego wierzchołka przybywa ta sama liczba krawędzi, a mianowicie 3.
  5. Kostka ma 9- osiową symetrię, która przecina się w punkcie przecięcia przekątnych sześciobocznego, zwanego środkiem symetrii.

Tetrahedron

Czworościanem jest czworościan o równych powierzchniach w kształcie trójkątów, z których każdy wierzchołek jest punktem połączenia trzech twarzy.

Właściwości regularnego czworościanu:

  1. Wszystkie twarze czworościanu są trójkąty równoboczne, z których wynika, że wszystkie twarze czworościanu są spójne.
  2. Ponieważ podstawa jest reprezentowana przez regularną geometryczną postać, czyli ma równe boki, twarze czworościanu zbiegają się pod tym samym kątem, czyli wszystkie kąty są równe.
  3. Suma kątów płaskich na każdym wierzchołku wynosi 180, ponieważ wszystkie kąty są równe, a każdy kąt normalnego czworościanu wynosi 60.
  4. Każdy wierzchołek jest skierowany do punktu przecięcia wysokości przeciwległej (ortocentrycznej) powierzchni.

Oktahedron i jego właściwości

Opisując typy regularnej polihedry, nie można nie zauważyć obiektu, takiego jak oktahedron, który może być wizualnie reprezentowany w formie dwóch czworobocznych regularnych piramid zlokalizowanych razem bazami.

Właściwości oktahedronu:

  1. Sama nazwa ciała geometrycznego mówi nam o liczbie twarzy. Oktagon składa się z 8 równych trójkąt równoramiennych, na których każdy wierzchołek ma taką samą liczbę twarzy, a mianowicie 4.
  2. Ponieważ wszystkie płaszczyzny ośmiobocznego są równe, kąty między kątem, każdy równe 60, są równe, a suma płaskich kątów dowolnego wierzchołka wynosi 240.

Dodekej

Jeśli wyobrażamy sobie, że wszystkie twarze geometrycznego ciała są regularnym pięciokątem, dostajemy dodecahedron – postać 12 wielokątów.

Właściwości dodecahedronu:

  1. Każdy wierzchołek przecina trzy twarze.
  2. Wszystkie powierzchnie są równe i mają tę samą długość krawędzi oraz równy obszar.
  3. Dwudazowiec ma 15 osi i płaszczyzny symetrii, a każdy z nich przechodzi przez wierzchołek twarzy i środek przeciwnej krawędzi.

Ikwadron

Nie mniej interesujące niż dodecahedron, aksamit jest wielobocznym ciałem geometrycznym o 20 równych powierzchniach. Wśród właściwości regularnego zębów można zauważyć:

  1. Wszystkie twarze lodu są trójkąty równoramienne.
  2. Każdy wierzchołek wielościanu zbliża się do pięciu twarzy, a sumą sąsiednich kątów wierzchołków jest 300.
  3. Ikosedek ma, podobnie jak dodecahedron, 15 osi i płaszczyzny symetrii, przechodzące przez centra przeciwległych twarzy.

Pół-regularne wielokąty

Oprócz platońskich ciał stałych, grupa wypukłej polihedry obejmuje również ciała Archimedesa, które są obcięte regularnie polihedra. Rodzaje polihedry tej grupy mają następujące właściwości:

  1. Jednostki geometryczne mają parzystą powierzchnię kilku typów, na przykład czworościan obcięty ma 8 ścian, a także zwykły czworościan, ale w przypadku ciała Archimedesa 4, twarze będą trójkątne i 4 – sześciokątne.
  2. Wszystkie kąty jednego wierzchołka są spójne.

Star polyhedra

Przedstawiciele nieistniejących typów geometrycznych ciał są star polyhedra, których twarze przecinają się wzajemnie. Mogą być utworzone przez fuzję dwóch regularnych trójwymiarowych ciał lub w wyniku kontynuacji ich twarzy.

Tak więc, taka gwiazda polihedra jest znana: oktahedron o kształcie gwiazdy, dwunastościan, aksamit, sześciokąt, icosododeczek.