Paradoks Russella: podstawowe informacje, przykłady, preparat

Russell paradoksem jest dwa współzależne logiczne antynomia.

Dwie formy paradoksu Russella

Najczęściej omawiana forma sprzeczności w zestawach logicznych. Niektóre z zestawu wydaje się być sami członkowie, a inni – nie. Zbiór wszystkich zbiorów jest sam zestaw, więc wydaje się, że odnosi się do siebie. Null lub pusty, jednak nie powinien być członkiem sobie. Dlatego zbiór wszystkich zbiorów, jako zero nie jest wliczone w siebie. Paradoks powstaje, gdy na pytanie, czy zestaw członek sobie. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy tak nie jest.

Inną formą paradoksem jest to sprzeczność dotycząca właściwości. Niektóre właściwości, wydaje się odnosić do siebie, podczas gdy inne nie. Nieruchomość być sama nieruchomość jest własnością, natomiast własność czy to kot nie jest. Rozważmy własność mający właściwość, która nie należy do niego. jeżeli ma ona zastosowanie do siebie? Ponownie, jakakolwiek z założeniami powinien być odwrotny. Paradoks został nazwany na cześć Bertrand Russell (1872-1970), który odkrył ją w 1901 roku.

historia

Otwarcie Russell wystąpił podczas pracy nad „Principles of Mathematics”. Chociaż odkrył paradoks niezależnie, istnieją dowody na to, że inni matematycy i twórcy teorii mnogości, w tym Ernst Zermelo i David Hilbert, zdawali sobie sprawę z pierwszej wersji sprzeczności przed nim. Russell był jednak pierwszym, który szczegółowo omówione paradoks w swoich opublikowanych utworów, najpierw próbował sformułować rozwiązania i pierwszy w pełni docenić jego znaczenie. Cały rozdział „Zasady” został poświęcony omówieniu tej kwestii, a aplikacja została poświęcona teorii typów, które Russell proponowanym jako rozwiązania.

Russell odkryto „paradoks kłamcy”, biorąc pod uwagę teorii mnogości Cantora, który mówi, że moc każdego zestawu jest mniejszy niż zbiór jego podzbiory. Przynajmniej w domenie powinno być tyle, ile jest podzbiory elementów w nim, jeśli jeden podzbiór każdego elementu jest zestaw zawierający tylko ten element. Ponadto okazało się, że Cantor liczba elementów, nie może być równa liczbie podgrup. Gdyby istniał ten sam numer, musiałby istnieć ƒ funkcji, które wyświetlane elementy na ich podzbiory. Jednocześnie można dowieść, że jest to niemożliwe. Niektóre elementy mogą być wyświetlane na podzbiory tego funkcja ƒ, które je zawierają, podczas gdy inni nie mogą.

Rozważmy podzbiór elementów, które nie należą do swoich obrazów, w których wykazują one ƒ. To samo podzbiór elementów, a zatem funkcja ƒ by wyświetlić je na elemencie w dziedzinie. Problemem jest to, że wtedy powstaje pytanie, czy ten element należący do podgrupy, do której wyświetla ƒ. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy nie należy. Paradoks Russella widać na przykładzie tego samego rozumowania, tylko uproszczone. Co więcej – zestawy lub podzbiorów zbioru? Wydawać by się mogło, że nie powinno być więcej zestawów, jak wszystkich podgrupach samych zestawów. Ale jeśli Twierdzenie Cantora jest prawdziwe, to nie powinno być więcej podzbiory. Russell traktować po prostu wyświetlać zestawy na siebie i stosowane kantoriansky podejście biorąc pod uwagę zbiór wszystkich tych elementów, poza zestawem w jakiej są wyświetlane. Pokazuje Russell staje zbiór wszystkich zbiorów, non.

błąd Frege

„Paradoks kłamcy” miały głęboki wpływ na historyczny rozwój teorii mnogości. Wykazał on, że pojęcie uniwersalnego zestawu jest wysoce problematyczne. On również w wątpliwość pogląd, że dla każdego zdefiniowanego warunku lub orzecznika można zakładać istnienie wielu tylko tych rzeczy, które spełniają ten warunek. Opcja paradoks dotyczący właściwości – naturalne rozszerzenie zestawów wersji – wzbudza poważne wątpliwości co do tego, czy możliwe jest, aby spierać o obiektywnym istnieniu mienia lub uniwersalnej zgodności każda określona przez warunek lub orzecznika.

Wkrótce sprzeczności i problemy w pracy logików stwierdzono, filozofowie i matematycy, którzy dokonali podobnych założeniach. W 1902 roku Russell stwierdził, że wariant paradoksu może być wyrażona w układzie logicznym, opracowany w tom I „Podstawy arytmetyki” Gottlob Frege, jednego z głównych prac nad logiką końca XIX – początku XX wieku. W filozofii Fregego wiele rozumieć jako „przedłużenie” lub „wartość zasięgu” koncepcji. Pojęcia są najbliżej tych korelaty. Oczekuje się, że istnieją dla danego stanu lub orzecznika. Zatem istnieje pojęcie zbioru, który nie wchodzi w jego koncepcji określającej. Istnieje również klasa definicją tego pojęcia, a to podlega określeniu jej koncepcję tylko wtedy, gdy tak nie jest.

Russell napisał do Frege o tym konflikcie w czerwcu 1902 Korespondencja stał się jednym z najbardziej ekscytujących i rozmawialiśmy o w historii logiki. Frege natychmiast rozpoznał katastrofalne konsekwencje tego paradoksu. Zauważył jednak, że wersja kontrowersji dotyczących właściwości w jego filozofii został rozwiązany poprzez rozróżnienie pomiędzy pojęciami poziomach.

Pojęcie Fregego rozumieć jako przejście od argumentów funkcji TRUE. Pojęcia Pierwszy poziom biorąc jako argumenty Przedmiotem koncepcji drugiego poziomu biorą jako argumenty do tych funkcji, i tak dalej. Tak więc pojęcie nie może podjąć się jako argument, a paradoks pod względem właściwości nie można sformułować. Niemniej Zestawy rozszerzenie koncepcji lub Frege rozumieć jako odnoszące się do tego samego typu logicznego jak wszystkich innych obiektów. Następnie dla każdego zestawu nie jest kwestia tego, czy mieści się w pojęciu definiowania go.

Kiedy Frege, Russell otrzymał pierwszy list, drugi tom „Podstawy arytmetyki” jest już gotowy wydruk. Został zmuszony do szybko przygotować aplikację, która daje odpowiedź na paradoksu Russella. Przykłady Frege zawiera szereg możliwych rozwiązań. Ale doszedł do wniosku, aby osłabić pojęcie abstrakcji zbioru w układzie logicznym.

W oryginale, można było stwierdzić, że obiekt należy do zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy wchodzi w zakres pojęcia definiuje go. Zmieniony system może jedynie stwierdzić, że obiekt należy do zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest objęty pojęciem określa wiele, ale nie jest ustawiona w pytaniu. Powstaje paradoks Russella.

Rozwiązaniem nie jest jednak w pełni zadowolony z Frege. I to był powód. Kilka lat później, bardziej złożone formy sprzeczności został uznany za zmienionego systemu. Ale jeszcze zanim to się stało, Frege opuszczony jego decyzje i wydaje się, dochodzę do wniosku, że jego podejście było po prostu niewykonalne, a logika będzie musiał to zrobić bez żadnych zestawów.

Jeszcze inni zostały zaproponowane, stosunkowo bardziej skutecznych rozwiązań alternatywnych. Są one omówione poniżej.

Teoria typów

Stwierdzono, że powyżej Frege była odpowiednia reakcja z paradoksem teorii ustawionej w wersji sformułowanych dla właściwości. Odpowiedź Fregego było poprzedzone najczęściej omawianego rozwiązania tej formie paradoksu. Opiera się ona na fakcie, że właściwości podlegają różne typy i jaki typ nieruchomości nigdy nie jest taki sam jak pozycji, do których się odnosi.

W ten sposób powstaje nawet nie kwestia, czy właściwość ma zastosowanie do siebie. Język logiczny, który oddziela elementy takiego hierarchii, przy użyciu teorii typów. Mimo że jest już używany przez Fregego, po raz pierwszy jest w pełni wyjaśnione i uzasadnione Russella w załączniku do „zasada”. Teoria typów był bardziej kompletny niż rozróżnienia poziomów Frege. Dzieliła właściwości są nie tylko różne rodzaje logiki, ale także ustawić. typ teorii rozwiązać sprzeczność paradoksu Russella następująco.

Aby być filozoficznie wystarczające przyjęcie teorii typów własności wymaga rozwoju teorii charakteru własności, tak aby mógł wyjaśnić, dlaczego nie mogą być stosowane do siebie. Na pierwszy rzut oka, to ma sens, aby orzec ich własność. Właściwość bycia własnej tożsamości, jak się wydaje, jest to także własnej tożsamości. Obiekt wydaje się być miła przyjemna. W taki sam sposób, jak widać, wydaje się fałszywa powiedzieć, że właściwość bycia kot to kot.

Niemniej jednak różne myśliciele uzasadniony podział różnych typów. Russell nawet dał różne wyjaśnienia w różnych okresach jego kariery. Ze swojej strony, uzasadnienie do rozdzielania różnych koncepcji poziomów Frege pochodzi z jego teorią nienasyconych pojęć. Pojęcia jako funkcja w istocie, są niekompletne. Aby zapewnić wartość, potrzebują argument. Nie tylko jednej koncepcji może orzekać koncepcję tego samego typu, ponieważ nadal wymaga swój argument. Na przykład, chociaż możliwe jest, aby wziąć pierwiastek kwadratowy pierwiastek kwadratowy z liczby, nie można po prostu użyć funkcji pierwiastka kwadratowego z funkcją pierwiastka kwadratowego i uzyskać wynik.

O właściwościach konserwatyzmu

Kolejnym możliwym rozwiązaniem jest właściwości paradox właściwości negacja istnienie pod dowolnych stanów lub dobrze uformowanej predykatu. Oczywiście, jeśli ktoś unika metafizyczne właściwości zarówno obiektywnych i niezależnych elementów jako całości, jeśli weźmiemy nominalizmu paradoks można uniknąć całkowicie.

Jednak, aby rozwiązać antynomii nie musi być tak ekstremalne. Logiczne systemy wyższego rzędu opracowany Frege i Russell, zawierać tzw koncepcyjne zasadę, zgodnie z którą każdy otwarte wzory niezależnie od tego, jak skomplikowane istnieje jako część własności lub koncepcji na przykład, tylko te elementy, które pasują do wzoru. Są stosowane do atrybutów każdy możliwy zestaw warunków lub orzeczników, bez względu na to, jak skomplikowane były.

Niemniej jednak, można było przyjąć bardziej rygorystyczne właściwości metafizyki dających prawo do obiektywnego istnienia prostych właściwości, w tym, na przykład, takie jak kolor czerwony, jędrności, dobroci i tak dalej. D. Można nawet niech te właściwości stosuje się do siebie, takich jak dobroć może być miły.

I ten sam status złożonych atrybutów można zaprzeczyć, na przykład takie „Właściwości” jako posiadające siedemnastoletnia głowy, być napisany pod woda i tym podobne. D. W tym przypadku, nie ma z góry określony warunek nie spełnia własność, rozumiana jako oddzielnie istniejący element, który ma swoje właściwości. W ten sposób można zaprzeczyć istnieniu prostych właściwości be-własność-że-nie-stosowane do siebie i uniknąć paradoksu poprzez zastosowanie bardziej konserwatywnych właściwości metafizyczne.

Russella paradoks: rozwiązanie

Wyżej zauważono, że pod koniec swojego życia Frege całkowicie opuszczony logikę zestawów. To, oczywiście, jedno rozwiązanie antynomią w postaci zestawów: prosty odmowa istnienia takich elementów jako całości. Ponadto, istnieją inne popularne decyzje, podstawy, które są przedstawione poniżej.

Teoria dla wielu typów

Jak wspomniano wcześniej, Russell grał dla pełniejszej teorii typów, którzy podzielają nie tylko właściwości lub koncepcji do różnych typów, ale również ustawić. Russell dzielonego ustawiony na wielu oddzielnych jednostek, wiele zestawów oddzielnych obiektów, itp zestawy obiektów nie zostały rozpatrzone, i wiele zestawów – .. Komplety. Wielu nigdy nie cieszył się typ, pozwala mieć jako członek sobie. Dlatego nie ma zbiór wszystkich zbiorów, które nie są członkami własnej, ponieważ dla każdego zestawu pytań o to, czy to jako członka, jest sam rodzaj naruszenia. Znowu chodzi tu o wyjaśnienie zestawy metafizyki wytłumaczyć filozoficzne fundamenty podziałem na rodzaje.

stratyfikacja

1937, V. V. Kuayn zaproponował alternatywne rozwiązanie, w sposób podobny do teorii typów. Podstawowe informacje o nim są.

Oddzielając zestawy elementów i innych. Wykonane tak, że założenie znalezienia wiele zawsze jest błędne lub bezsensowne. Zestawy mogą być wykonywane tylko przy definiowaniu ich warunki nie są rodzajem naruszenia. Tak więc, dla Quine'a, wyrażenie „x nie jest członkiem X” jest sensowne stwierdzenie nie implikuje istnienia zbioru wszystkich elementów x spełniających ten warunek.

W tym układzie zespół istnieje pewien wzór otworzyć tylko wtedy, gdy to jest podzielone, t. E. Jeśli zmienne są przypisane dodatnie liczby całkowite takie, że dla każdego z charakterystycznym występowaniem wielu poprzedzających go zmienna jest przyporządkowana jednostka przyporządkowania mniejszy niż zmiennej następujących po nim. Paradoksem tego bloki Russella, ponieważ formuła stosowana do określenia zestawu problemu, nie jest taka sama przed i po zmiennej członków znak co unstratified.

Ale to musi jeszcze ustalić, czy wynikające z systemu, który Quine „nowej Podstawy logiki matematycznej” spójne.

odrzucenie

Zupełnie różne podejścia w teorii Zermelo – Fraenkel (ZF). Tutaj też ustawić limit na istnienie zbiorów. Zamiast zbliżać się do „top-down” Russell i Frege, który początkowo myślał, że dla wszystkich pojęć, właściwości lub warunków może sugerować istnienie zbioru wszystkich rzeczy z tej nieruchomości lub w celu spełnienia takiego warunku, w ZF-teorii, zaczyna wszystko „od dołu do góry”.

Poszczególne elementy zbioru pustego i tworzą zbiór. Dlatego też, w przeciwieństwie do wcześniejszych systemów i Russell Frege FIT nie należą do zestawu uniwersalnego, który obejmuje wszystkie elementy, a nawet wszystkie zestawy. ZF wyznacza ścisłe limity na istnienie zbiorów. Może występować jedynie te, dla których jest wyraźnie Postuluje się, lub które mogą być wytwarzane za pomocą procesów iteracyjnych i tym podobne. D.

Wtedy, zamiast pojęcia abstrakcji naiwnej zestawu, który stwierdza, że dany element jest w zestawie, wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki, zasady rozdzielania używane DF, separacja lub „sortowania”. Zamiast zakładając istnienie zbiór wszystkich elementów, które bez wyjątku mają spełniać określone warunki dla każdego istniejącego zestawu Aussonderung wskazuje na istnienie podzbioru wszystkich elementów w pierwotnym zestawie, który spełnia ten warunek.

Potem przychodzi abstrakcji zasada: jeśli zbiór A istnieje, to dla wszystkich X w, x należy do podzbioru A, który spełnia warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy x spełnia C. Stan Takie podejście rozwiązuje paradoks Russella, ponieważ nie możemy po prostu założyć, czyli zbiór wszystkich zbiorów, które nie są członkami siebie.

O wiele zestawów, można zaznaczyć lub podzielić ją na zestawy, które są same w sobie, i tych, którzy nie są tego rodzaju, ale ponieważ nie ma uniwersalnego zestawu nie są związani zbiór wszystkich zbiorów. Bez problemu zakładając ustawia Russell sprzeczność nie może być udowodnione.

Inne rozwiązania

Ponadto, nie były kolejne rozszerzenia i modyfikacje tego rozwiązania, jak na przykład typu widłowego teorii „metod matematycznych” rozszerzeń systemu „logika matematyczny” Quine'a, jak i bardziej współczesnych osiągnięć w teorii zbiorów, wykonane Bernays, Gödel von Neumanna. Na pytanie, czy odpowiedź na nierozpuszczalnej paradoksu Bertrand Russell znaleziony, jest nadal przedmiotem dyskusji.