291 Shares 8464 views

Pochodna sinusa kąta wynosi cosinus samym kątem

Trygonometrii dana prosta funkcja y = sin (x) jest różniczkowalną w każdym punkcie w całej domeny. trzeba udowodnić, że pochodna sinusa jakiegokolwiek argumentu jest równa cosinus samym kątem, czyli „= cos (x).


Dowód jest oparta na definicji funkcji pochodnej

Definiujemy x (dowolne) w pewnym małym otoczeniu danego punktu x AH 0. Pokażemy wartość funkcji w nim, a w punkcie x, aby znaleźć przyrost danej funkcji. Jeśli Ah – argumentu zwiększany nowy argument – to x 0 + Dx = X, wartość tej funkcji dla danej wartości argumentu (x) jest równa sin (x 0 + Dx), wartość funkcji w danym punkcie (x 0) jest również znany ,

Teraz trzeba AU = sin (x 0 + AH) -Sin (x 0) – Otrzymaną funkcję różnicy.

Zgodnie z formułą sinus sumy dwie nierówne kąty będziemy konwertować różnicę AU.

AU = sin (x 0) · cos (Ah) + cos (x 0) · Sin (Dx) minus sin (x 0) = (cos (Dx) -1 ) · Sin ( x 0) + cos (x 0) · Sin (AH).

Warunki wykonywanych permutacji zgrupowane pierwszego do trzeciego sin (0 X) wyjęte wspólny czynnik – sinusoidalny – wsporniki. Otrzymaliśmy różnicę w ekspresji COS (AH) -1. To w lewo, aby zmienić znak przed nawias i wsporników. Wiedząc, co jest 1-cos (Ah), możemy dokonać zmiany i uzyskać uproszczone wyrażenie AU, która jest następnie dzielona przez AH.
AU / Dh ma postać: cos (x 0) · Sin (AH) / Ah 2 · sin 2 (0,5 x Ah) · sin (x 0) / Ah. Jest to stosunek przyrostu funkcji dopuszczenia do przyrostu argumentu.

Pozostaje znaleźć limit wskaźników uzyskanych przez nas w ciągu lim AH, z tendencją do zera.

Wiadomo, że granica Sin (AH) / Dx równa się 1, pod warunkiem. A ekspresja 2 · sin 2 (0,5 x Ah) / Dh w wyniku suma poszczególnych przemian do produktu zawierającego jako pierwszy mechanizm mnożący niezwykłą dopuszczalnych: liczniku frakcji i znemenatel podzielić przez 2, kwadrat sinusa wymienić produkt. Oto jak to zrobić:
(Sin (0,5 · Dx) / (0,5 · Dx)) · Sin (Dx / 2).
Granica tego wyrażenia po Ah dąży do zera, będzie równe liczbie zero (0 pomnożonej przez 1). Okazuje się, że ograniczenie współczynnika Δy / Dh jest cos (x 0) · 1-0, jest cos (x = 0), którego ekspresja jest niezależna od DH tendencję do 0 Wniosek: pochodną sinusa dowolnym kątem jest równa x cosinus x, może być zapisany jako: y „= cos (x).

Powstały wzór w tabeli znanych pochodnych, gdzie wszystkie funkcje elementarne

W rozwiązywaniu problemów, gdzie spotyka pochodną sinusa, możesz użyć zasady różnicowania i gotowych formuł tabeli. Na przykład wyszukiwanie pochodną najprostszym funkcja y = 3 · sin (x) -15. Używamy podstawowych zasad otrzymywania pochodnych usuwania współczynnik liczbowy na znak pochodnej i obliczyć pochodną stałą liczbę (czyli zero). Zastosować sine wartość tabeli pochodną o kąt równy x cos (x). Otrzyma odpowiedź: Y „= 3 · cos (x), -O. Pochodna ta z kolei jest funkcją elementarną · Y = H, cos (x).

Pochodna sinus kwadrat każdej argumentu

Przy obliczaniu wyrażenia (sin 2 (x)) „należy pamiętać, jak zróżnicowane złożoną funkcję. Tak więc, 2 = sin (x) – jest funkcją mocy jak sinus kwadrat. Jej argumentem jest również funkcja trygonometryczna, kompleks argumentu. W rezultacie w tym przypadku jest równa iloczynowi pierwszej mnożnika jest kwadratem złożonej pochodnej argumentu, a drugi – pochodna z sinusa. Oto zasada różnicowania funkcję funkcję: (u (v (x))) 'jest (u (v (x)))' · (v (x)).” Ekspresja p (x), – zespół argument (wewnętrzna funkcja). Jeśli dana funkcja "y wynosi sinus kwadrat X", a następnie pochodną tej funkcji jest kompozytowego Y „= 2 · sin (x) · cos (x). Produkt z pierwszego mechanizmu mnożącego dwukrotnie – pochodna znaną funkcją wykładniczą, a cos (x) – zatok pochodną kompleks argument funkcji kwadratowej. Końcowy rezultat może być przekształcona za pomocą formuły sinusa podwójnego kątem. A: pochodna Sin (2 • x). Ta formuła jest łatwa do zapamiętania, jest on często wykorzystywany jako stół.