Jakie są liczbami wymiernymi? Jakie są więcej?

Jakie są liczbami wymiernymi? Starsi uczniowie i studenci specjalności matematycznych mogą łatwo odpowiedzieć na to pytanie. Ale ci, którzy z zawodu jest daleki od tego, to będzie trudniej. Co to właściwie jest?

Istota i oznaczenie

Zgodnie z liczb wymiernych oznaczają te, które można przedstawić jako wspólny frakcji. Pozytywne, negatywne, i zero są również zawarte w tym zbiorze. Licznik ułamka w tym przypadku musi być liczbą całkowitą, a mianownik – oznaczają liczbę całkowitą dodatnią.

Ten zestaw matematyki jest określany jako Q i nazywany jest „polem liczb wymiernych.” Zawierają one wszystkie całość i naturalne, oznaczonej jako Z i N. Ten sam zestaw Q zawarte w zbiorze R. Jest to list reprezentują tzw liczb rzeczywistych lub Real.

pomysł

Jak już wspomniano, liczby wymierne – to zestaw, który zawiera wszystkie liczby całkowitej i wartości ułamkowych. Mogą one występować w różnych formach. Po pierwsze, w postaci ułamków zwykłych: 5/7, 1/5, 11/15 itp Oczywiście, całkowite mogą być napisane w podobny sposób: 6/2, 15/5, 0/1, – .. 10/2, itd. Po drugie, inny rodzaj prezentacji – skończony dziesiętny część ułamkową: …. 0,01, -15,001006, itd. jest to chyba jeden z najbardziej powszechnych form.

Ale jest jeszcze trzeci – ułamek okresowy. Ten gatunek nie jest bardzo powszechne, ale nadal używane. Na przykład, frakcja 10/3 można zapisać jako 3.33333 … lub 3, (3). Różne poglądy będą brane pod uwagę te same numery. Jak będzie dalej, i równe inne frakcje, takie jak 3/5 i 6/10. Wydaje się, że stało się jasne, że racjonalne numer. Ale dlaczego to termin odnoszący się do nich?

Pochodzenie nazwy

Słowo „racjonalne” we współczesnym języku rosyjskim w ogóle nosi nieco inne znaczenie. Przeciwnie, jest „rozsądny”, „zamierzone”. Ale terminy matematyczne są blisko dosłownym znaczeniu tego pożyczone słowa. „Wskaźnik” w języku łacińskim – to „postawa”, „rolki” albo „podział”. Zatem nazwa odzwierciedla istotę tego, co jest racjonalne. Jednak drugi sens daleko odszedł od prawdy.

manipulowanie

W rozwiązywaniu problemów matematycznych, stale do czynienia z liczb wymiernych, nie wiedząc sami zrobić. I mają szereg interesujących właściwości. wszystkie one wynikają z definicji zbioru działań albo.

Po pierwsze, liczby wymierne mają stosunki własności rzędu. Oznacza to, że między dwoma numerami może być tylko jeden związek – są albo takie same względem siebie, lub w mniej lub bardziej niż inne. Tj.:

lub a = b; lub a> b, a <b.

Ponadto, ta właściwość stosunku Przechodniość następująco. Oznacza to, że gdy a jest większe od b, B powyżej C, to jest większa niż ok. W języku matematyki jest w następujący sposób:

(A> b) ^ (b > c) => (a> C).

Po drugie, istnieją operacje arytmetyczne z liczb wymiernych, czyli dodawanie, odejmowanie, dzielenie i, oczywiście, mnożenia. W procesie transformacji można również wybrać liczbę właściwości.

• a + b = + A (Zmiana warunków miejsca przemienność);
• 0 + A = a + 0;
• (A + b) + c = a + (b + c) ( Zespolenie);
• a + (-a) = 0;
• AB = BA;
• (AB), C = (BC ) ( rozdzielność);
• 1 = ax 1 xa = A;
• AX (1 / A) = 1 (w którym nie jest równa 0);
• (A + B): C = ac + ab;
• (A> b) ^ (c > 0) => (ac> bc) .

Jeśli chodzi o zwyczajne, nie dziesiętne, ułamki i liczby całkowite, działania z nimi może powodować pewne trudności. Na przykład, możliwe są tylko dodawanie i odejmowanie z jednakowych mianownikach. Jeśli są one różne początkowo, powinno być znalezienie wspólnego, za pomocą mnożenia wszystkich frakcji o określonej liczbie. Porównaj także często możliwe tylko pod tym warunkiem.

Mnożenie i dzielenie frakcji wytwarzanych zgodnie ze stosunkowo prostych reguł. Redukcja do wspólnego mianownika nie jest konieczne. Oddzielnie pomnożyć licznik i mianownik, podczas gdy w procesie realizacji frakcji możliwych działań niezbędnych dla zminimalizowania i uproszczenia.

Co do podziału, to jest podobny do pierwszego z tą różnicą. Na drugi strzał musi znaleźć odwrotność, czyli "Flip" go. W ten sposób, licznik pierwszej frakcji musi być pomnożona przez mianownik drugiego i na odwrót.

Wreszcie inna nieruchomość wspólna liczb wymiernych, zwany aksjomat Archimedesa. nazwa „zasada” jest często spotykany w literaturze również. Jest to ważne dla całego zbioru liczb rzeczywistych, ale nie wszędzie. Tak więc zasada ta nie ma zastosowania do niektórych zestawów funkcji wymiernych. W istocie, to aksjomat oznacza, że gdy istnieją dwie wartości a i b, zawsze można wziąć wystarczającej ilości a, b, aby wyprzedzić.

Zakres zastosowania

Tak więc ci, którzy nauczyli lub przypomniał, że liczbą wymierną, to jest oczywiste, że są one stosowane wszędzie: w rachunkowości, ekonomii, statystyki, fizyki, chemii i innych nauk. Oczywiście, istnieje również miejsce dla nich w matematyce. Nie zawsze wiedząc, że mamy do czynienia z nimi, stale używać liczby wymierne. Nawet małe dzieci uczą się liczyć przedmioty, cięcia na części jabłko lub kompletowanie inne proste czynności, z którymi borykają się z nimi. Oni dosłownie otaczają nas. Jednak dla niektórych zadań są niewystarczające, w szczególności, przykład twierdzenie Pitagorasa możemy zrozumieć potrzebę wprowadzenia pojęcia liczb niewymiernych.