689 Shares 3764 views

transformaty Fouriera. transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera

Transformacja Fouriera – transformacja, kojarząc pewną funkcję zmiennej rzeczywistej. Operacja ta jest wykonywana za każdym razem, kiedy postrzegają różne dźwięki. Ucho produkuje automatyczne „obliczenia”, który spełni naszą świadomość może dopiero po zbadaniu części matematyki wyższej. Narządu słuchu człowieka tworzy transformacji w wyniku których dźwięk (oscylacyjny ruch konwencjonalnych cząstek w ośrodku sprężystym, które rozchodzą się w postaci fali w stałej, ciekłej lub gazowej nośnika) jest zaopatrzona w szereg kolejnych wartości poziomu objętości tonami o różnej wysokości. Po tym, że mózg włącza informację do wszystkich znajomy dźwięk.

transformaty Fouriera matematyczny

Konwersja fal dźwiękowych drgań lub innymi sposobami (w emisji światła i oceanie i cykli odpływu gwiazdowych lub słonecznego) może być przeprowadzane za pomocą metod matematycznych. W ten sposób, przy użyciu tych technik, funkcje mogą być rozszerzone poprzez wprowadzenie procesu drgań sinusoidalnych zestaw składników, to znaczy krzywe falistych, które idą od minimum do maksimum, a następnie ponownie do minimum, jak na fali morskiej. Transformacja Fouriera – funkcja, która opisuje transformację fazy lub amplitudy każdego sinusoidy odpowiada konkretnej częstotliwości. Faza jest punktem wyjścia do krzywej, a amplituda – jego wysokości.

transformaty Fouriera (przykłady są pokazane na zdjęciu) jest bardzo potężne narzędzie, które jest używane w różnych dziedzinach nauki. W niektórych przypadkach, stosuje się go w postaci roztworu, a skomplikowane równania, które opisują dynamiczne procesy zachodzące pod wpływem światła, ciepła lub energii elektrycznej. W innych przypadkach, to pozwala na zdefiniowanie stałych składników w złożonych przebiegów, ze względu na to może być prawda interpretować różne obserwacje eksperymentalne w chemii, medycyny i astronomii.

informacje historyczne

Pierwszą osobą, do zastosowania tej metody był francuski matematyk Zhan Batist Fure. Konwersji, następnie nazwana jego imieniem, pierwotnie używane do opisania mechanizmu przewodzenia ciepła. Fourier całe swoje dorosłe życie wykonującą badanie właściwości ciepła. Zrobił ogromny wkład do matematycznej teorii oznaczania korzeni równań algebraicznych. Fourier był profesorem analizy w Ecole Polytechnique, sekretarz Instytutu egiptologii, był cesarski usługa, która wywołała poruszenie w czasie budowy drogi do Turynu (pod jego kierownictwem odciska się ponad 80 tysięcy kilometrów kwadratowych malarii bagien). Jednak cały ten aktywizm nie powstrzymało naukowiec zaangażowany w analizie matematycznej. W 1802, pochodził równania opisujące rozchodzenie ciepła w stałych. W 1807 roku naukowiec odkrył metodę rozwiązania tego równania, który stał się znany jako „transformaty Fouriera”.

Analiza przewodności cieplnej

Naukowcy wykorzystali metody matematyczne do opisu mechanizmu przewodzenia ciepła. Dogodny przykład, w którym nie ma trudności w obliczeniach jest propagacji energii cieplnej przez pierścień żelaza, jedna część zanurzona w ogniu. W celu przeprowadzenia eksperymentów Fouriera red hot część pierścienia i pochować go w drobnym piaskiem. Następnie, pomiary temperatury przeprowadzone na przeciwległym jej części. Początkowo ciepłownicza jest nieregularna: część pierścienia – zimno, a drugi – na gorąco, pomiędzy strefami może obserwować ostry gradient temperatury. Jednakże, w dystrybucji ciepła całej powierzchni metalu, staje się bardziej równomierny. Tak, wkrótce, proces ten ma postać sinusoidy. Pierwszy wykres stopniowo wzrasta, a także zmniejsza się płynnie, dokładnie prawa odmianie cosinus lub funkcji sinus. Falowego stopniowo wyrównane, w wyniku czego temperatura jest równomierna na całej powierzchni pierścienia.

Autor tej metodzie zakłada się, że początkowy rozkład jest dość nieregularny może być rozłożona na kilka elementarnych fal sinusoidalnych. Każdy z nich ma swoją fazę (pozycja początkowa) i maksymalną temperaturę. W ten sposób każda z tych zmian elementów minimum do maksimum i z powrotem do pełnego obrotu wokół razy pierścień całkowitych. Składnik ma okres, który nazwano harmonicznej podstawowej, a wartość z dwóch lub więcej okresów – drugi i tak dalej. Na przykład, funkcja matematyczna określa maksymalną temperaturę fazy lub położenie zwane jest transformatą Fouriera funkcji rozkładu. Naukowiec przedstawia pojedynczy komponent, który jest trudny do opisu matematycznego, do łatwego w użyciu narzędzia – rzędy sinus i cosinus, w wysokości co daje wstępną dystrybucję.

Istotą analizy

Stosując tę analizę konwersji rozkładu ciepła w ciałach stałych, mający kształt pierścieniowy, matematyka wniosku, że wydłużenie okresów sinusoidalnych składniki doprowadzić do jego szybkiego tłumienia. Jest to wyraźnie widoczne na głównych i drugiej harmonicznej. Końcowa temperatura osiąga dwukrotnie maksymalne i minimalne wartości w pojedynczym przejściu, w pierwszym – tylko raz. Okazuje się, że droga przebyta przez ogrzewanie w drugiej harmonicznej wynosi połowę rdzenia. Ponadto, nachylenie drugiej połowy będzie również bardziej stroma niż w pierwszym. W związku z tym, ponieważ bardziej intensywny strumień cieplny przepływa wdowa minimalną odległość, a następnie zostanie harmoniczny tłumiony cztery razy szybciej niż główny, w funkcji czasu. W następnym procesie będzie jeszcze szybciej. Matematyka uważa się, że metoda ta pozwala na obliczenie proces wstępnego rozkładu temperatury w czasie.

połączeń współcześni

Transformaty Fouriera algorytm stał się wyzwaniem dla teoretycznych podstaw matematyki w tym czasie. Na początku XIX wieku, większość wybitnych naukowców, w tym Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre'a i Biot nie zaakceptować jego twierdzenie, że temperatura wstępnego podziału rozkłada się na składowe w postaci fali podstawowej i wyższej częstotliwości. Jednak Akademia Nauk nie mógł zignorować wyniki uzyskane matematyk, i przyznano mu Nagrodę dla teorii przewodnictwa cieplnego przepisów ustawowych, jak również prowadzenie jej porównania z eksperymentów fizycznych. W podejściu Fouriera zastrzeżeń głównym jest to, że nieciągła funkcji jest reprezentowany przez sumę wielu sinusoidalnych funkcji, które są w sposób ciągły. Wszakże opisać pęknięcie proste i zakrzywione linie. Współczesna naukowców nie zetknął się w takiej sytuacji, gdy funkcje opisane przez nieciągłe połączenie ciągłe, takie jak kwadratowe, liniowe, sinusoidalny lub wystawcy. W przypadku, matematyk miał rację w swoich twierdzeń, suma nieskończonego szeregu funkcji trygonometrycznych powinno być ograniczone do dokładnej prędkości. Chociaż takie roszczenie wydawało się absurdalne. Jednak pomimo wątpliwości niektórych badaczy (np Claude Naviera, Sofi Zhermen) rozszerzyła zakres badań i przyniósł je z analizy dystrybucji ciepła. Matematyka, tymczasem nadal cierpi na pytanie, czy suma kilku funkcji sinusoidalnych jest zredukowana do dokładnej reprezentacji rozerwania.

Historia 200 lat

Teoria ta ewoluowała na przestrzeni dwóch stuleci, dzisiaj jest ostatecznie uformowane. Dzięki funkcji przestrzennych i czasowych są podzielone na sinusoidalne elementów o częstotliwości, fazy i amplitudy. Konwersja ta jest uzyskiwana przez dwóch różnych metod matematycznych. Pierwsza z nich jest wykorzystywana w przypadku, gdy źródłem jest funkcją ciągłą, a drugi – w przypadku, gdy jest on reprezentowany przez wiele oddzielnych indywidualnych zmian. Jeśli wyrażenie jest otrzymywany z wartościami, które są zdefiniowane w dyskretnych odstępach, może być podzielony na kilka oddzielnych sinusoidalne częstotliwości ekspresji – od najniższej, a następnie dwukrotnie, trzykrotnie, i tak dalej nad podstawową. Kwota ta jest nazywana szereg Fouriera. Jeżeli początkowa ekspresja nadaje wartość każdej liczby rzeczywistym, może być podzielony na kilka sinusoidalnych wszystkich możliwych częstotliwości. Nazywa Fouriera integralną, a decyzja zakłada przekształcenie funkcji integralnej. Niezależnie od zastosowanej metody w celu uzyskania transformacji dla każdej częstotliwości należy wskazać dwa numery: amplitudy i częstotliwości. Wartości te są wyrażone w postaci pojedynczej liczby zespolonej. Ekspresję kompleksu zmienne teorii wraz z transformacją Fouriera w celu wykonywania obliczeń umożliwiły zaprojektowanie różnych układów elektrycznych, analiza wibracji mechanicznych, badania mechanizmów propagacji fal i drugiego.

Transformaty Fouriera dzisiaj

Obecnie badania tego procesu w zasadzie sprowadza się do znalezienia skutecznych metod przejścia z funkcji, aby przekształcić go z powrotem do głowy. To rozwiązanie nazywa transformaty Fouriera bezpośrednie i odwrotne. Co to znaczy? W celu wyznaczenia całki i uczynić transformaty Fouriera bezpośrednim, można użyć metod matematycznych, ale można analitycznej. Pomimo faktu, że gdy są one stosowane w praktyce istnieją pewne trudności, większość Całki zostały już znalezione i wszedł w podręcznikach matematycznych. Z pomocą metod numerycznych można obliczyć wyrażenia, którego kształt jest na podstawie danych doświadczalnych, którego funkcją Całki w tabelach brakuje i są trudne do wyobrażenia w postaci analitycznej.

Przed pojawieniem obliczeń inżynierskich komputer takie transformacje zostały bardzo żmudne, wymagają ręcznego wykonywania dużej liczby operacji arytmetycznych, które zależą od liczby punktów, które opisują funkcję falową. Aby ułatwić rozliczenie dziś istnieją specjalne programy, pozostawiono do wdrażania nowych metod analitycznych. Tak więc, w 1965 roku, Dzheyms Kuli i Dzhon Tyuki stworzył oprogramowanie, które stały się znane jako "Fast Fourier Transform". To oszczędza czas obliczania przez zmniejszenie liczby mnożeń w analizie krzywej. „Fast Fourier Transform” Metoda ta opiera się na podzieleniu krzywej na dużą ilość jednakowych wartościach próbkowania. W związku z tym liczba multiplikacji jest zmniejszana o połowę w tym samym zmniejszenie liczby punktów.

Stosując transformaty Fouriera

Proces ten jest stosowany w różnych dziedzinach: w teorii liczb, fizyki, przetwarzania sygnałów, kombinatoryki, teorii prawdopodobieństwa, kryptografii, statystyki, oceanografii, optyki, akustyki i innych kształtów. Bogate możliwości jego wykorzystania są w oparciu o szereg przydatnych funkcji, które są nazywane „Właściwości transformacji Fouriera.” Przyjrzyjmy się im.

1. Funkcja konwersji operator liniowy i odpowiedni normalizacja jest jednolita. Ta właściwość jest znana jako twierdzenie Parseval, lub w przypadku ogólnym, twierdzenie Plansherelja lub Pontrjagin dualizm.

2. Przekształcenie jest odwracalne. Ponadto, przeciwnie wynik jest zasadniczo podobny kształt jak w adresowanie bezpośrednie.

3. sinusoidalne podstawowe wyrażenia są ich własne funkcje zróżnicowane. Oznacza to, że takie przedstawienie zmiany równań liniowych o stałych współczynnikach, w konwencjonalnym algebraicznych.

4. Zgodnie z „splotu” tw proces powoduje skomplikowaną operacją elementarnej mnożenia.

5. Discrete Fourier Transform można szybko zaprojektowany na komputerze przy użyciu metody „szybki”.

Odmiany transformaty Fouriera

1. Najczęściej określenie to jest używane w odniesieniu do ciągłej transformacji, zapewniając ekspresję dowolnego kwadratu do zabudowy jako sumę złożoną Potęgowanie z określonymi kątowymi częstotliwości i amplitudzie. Gatunek ten ma kilka różnych postaci, które mogą być różne współczynniki stałe. Ciągły sposób obejmuje stół przetwarzania, które można znaleźć w podręcznikach matematycznych. Uogólniony przykładem jest konwersja ułamkowe, przy czym proces ten może być podniesiona do pożądanej mocy czynnej.

2. Ciągła metoda jest uogólnieniem wcześniej techniki szeregu Fouriera, zdefiniowanym dla dowolnej funkcji okresowych lub wyrażeń, które występują w ograniczonym obszarze i stanowią je w szeregu sinusoid.

transformaty Fouriera 3. dyskretne. Ta metoda jest używana w informatyce do obliczeń naukowych i cyfrowego przetwarzania sygnału. W celu przeprowadzenia tego typu obliczeń musi posiadać funkcję ustalania dyskretnego zbioru poszczególnych punktów, okresowy lub ograniczony obszar zamiast ciągłych całek Fouriera. konwersja sygnału w tym przypadku jest reprezentowany jako sumę sinusoid. Korzystanie z „szybkim” metoda pozwala na korzystanie z rozwiązań cyfrowych dla wszystkich celów praktycznych.

4. Okno transformaty Fouriera jest uogólniony widok metodą klasyczną. W przeciwieństwie do standardowych rozwiązań, gdy używany jest widmo sygnału, który jest przenoszony w pełnym zakresie istnienia tej zmiennej jest przedmiotem szczególnego zainteresowania jest tu tylko lokalna dystrybucja częstotliwości przy zachowaniu oryginalnej zmiennej (czas).

5. transformaty Fouriera dwuwymiarowy. Metoda ta stosowana jest do pracy z tablic dwuwymiarowych danych. W takim przypadku, przekształcenie odbywa się w jednym kierunku, a następnie – w drugim.

wniosek

Obecnie metoda Fouriera jest mocno zakorzenione w różnych dziedzinach nauki. Na przykład w roku 1962 otwarty kształt podwójnej spirali DNA z wykorzystaniem analizy Fouriera w połączeniu z dyfrakcji rentgenowskiej. Ostatnie kryształy koncentruje się na włóknach DNA, co prowadzi do obrazu, który jest otrzymywany poprzez dyfrakcję, zapisane na folii. Ten obraz dał informację o wartości amplitudy za pomocą transformaty Fouriera do tej struktury krystalicznej. Dane uzyskane przez porównanie fazy karty dyfrakcji DNA z karty, które zostały uzyskane w analizie podobnej budowie chemicznej. W rezultacie, biolodzy przywrócono strukturę krystaliczną – pierwotną funkcję.

Transformaty Fouriera odgrywają ogromną rolę w badaniach przestrzeni kosmicznej, fizyki materiałów półprzewodnikowych i osocza, akustyki mikrofalowe, oceanografii, radar, sejsmologii i badań lekarskich.