686 Shares 8932 views

Wzory Cramera i jego zastosowanie

Wzory Cramera – jest jednym z dokładnych metod rozwiązywania układów równań liniowych algebraicznych (Slough). Jego dokładność dzięki zastosowaniu wyznaczników macierzy systemu, jak również niektóre z ograniczeń nałożonych w dowodzie twierdzenia.

Układ równań algebraicznych liniowych współczynników z należącą do nich, na przykład, wiele R – liczbami rzeczywistymi niewiadomych x1, x2, …, x jest zbiorem wyrażenia

AI2 AI2 x1 + x2 + … ain Xn = bi i = 1, 2, …, w (1)

gdzie aij, bi – liczbami rzeczywistymi. Każdy z tych pojęć zwane równanie liniowe, Aij – współczynniki niewiadomych BI – niezależne współczynników równania.

Roztwór związku (1), o której mowa N-wymiarowy wektor x ° = (x1 ° x2 °, …, x n °), po czym na zmianę do systemu x1 niewiadomymi, X2, … Xn, każdy z przewodów w układzie będzie najlepiej równanie ,

System nazywany jest zgodne, jeżeli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a niespójne, jeśli pokrywa się z zestawu rozwiązań pustego zestawu.

Należy pamiętać, że w celu znalezienia rozwiązania układu równań liniowych, stosując metodę Cramer, systemy matrycowe do kwadratu, który w zasadzie oznacza taką samą liczbę nieznanych i równania systemu.

Tak więc, aby użyć metody Cramera, trzeba przynajmniej wiedzieć czym jest Matrix układ liniowych równań algebraicznych, i to jest wydawane. A po drugie, aby zrozumieć, co nazywa się wyznacznik macierzy i własnych umiejętności obliczeń.

Załóżmy, że ta wiedza, którą posiadają. Wspaniałe! Wtedy trzeba po prostu zapamiętać formuł określających metodę Kramera. Aby uprościć zapamiętywania użyć następującego zapisu:

  • Det – głównym wyznacznikiem macierzy systemu;

  • deti – jest wyznacznikiem macierzy uzyskane z pierwszej matrycy systemu zastępując i-tej kolumny macierzy do wektora kolumny, której elementy są odpowiednie boki liniowych równań algebraicznych;

  • n – liczba nieznanych i równania systemu.

Następnie obliczenie Cramera i-ty element XI (i = 1, .. n), n-wymiarowy wektor x może być zapisana jako

xi = deti / DET (2).

W tym przypadku, Det ściśle różny od zera.

Wyjątkowość rozwiązania układu, gdy jest ona wspólnie dostarczone przez stan nierówności głównego wyznacznika układu do zera. W przeciwnym razie, jeżeli suma (xi), kwadratu, ściśle dodatnią, to Slae kwadratowa macierz jest niewykonalne. Może to nastąpić w szczególności, gdy co najmniej jeden z děti niezerowego.

Przykład 1. Aby rozwiązać ten trójwymiarowy układ LAU wzoru Cramera.
2 x1 + x2 + x 3 = 31 4
5 x1 + x2 x3 = 2 29
3 X1 – x2 x3 = 10.

Decyzja. Piszemy dół matrycy linii systemowej po linii, gdzie Ai – to i-ty wiersz macierzy.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2) A3 = (3, 1, 1).
Kolumna wolne współczynniki B = 31: 29 (X).

System główny jest wyznacznikiem Det
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + A31 A21 A32 – A13 A22 A31 – A11 A32 A23 – A33 A21 A12 = 1 – 20 + 12 – 12 + 2 – 10 = -27.

Aby obliczyć za pomocą permutacji det1 A11 = b1, b2 = A21, A31 = B3. następnie
det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 b2 + a31 a32 – a13 a22 b3 – b1 a32 a23 – a33 a12 b2 = … = -81.

Podobnie, w celu obliczenia det2 używa zastępowania A12 = b1, b2 = A22, A32 = b3, a zatem, w celu obliczenia det3 – a13 = b1, b2 = A23, A33 = b3.
Następnie można sprawdzić, czy det2 = -108 i det3 = – 135.
Zgodnie z wzorem Cramer znaleźć x1 = -81 / (- 27) = 3 x 2 = -108 / (- 27) = 4, X3 = -135 / (- 27) = 5.

Odpowiedź: x ° = (3,4,5).

Powołując się na możliwości stosowania tej zasady, metody układów równań liniowych Kramer rozwiązania mogą być stosowane pośrednio, na przykład, w celu zbadania systemu na możliwą liczbę rozwiązań w zależności od wartości parametru k.

Przykład 2. W celu określenia, w jaki wartości parametru k nierówności | kx – Y – 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 ma dokładnie jeden roztworze.

Decyzja.
Ta nierówność, z definicji funkcji modułu można wykonać tylko wtedy, gdy oba wyrażenia są równe zeru jednocześnie. Dlatego też, problem sprowadza się do znalezienia rozwiązania liniowych równań algebraicznych

kx – y = 4,
x + ky = -4.

Rozwiązaniem tego systemu tylko wtedy, gdy jest głównym wyznacznikiem
Det = k ^ {2} + 1 nie jest zerem. Jest oczywiste, że warunek ten jest spełniony dla wszystkich rzeczywistych wartości parametru k.

Odpowiedź: dla wszystkich rzeczywistych wartości parametru k.

Cele tego typu mogą być również zmniejszona wiele praktycznych problemów z zakresu matematyki, fizyki lub chemii.